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第4课时反证法基础达标(水平一)1.若a,b,c不全为0,则只需().A.abc0B.a,b,c中至少有一个为0C.a,b,c中只有一个是0D.a,b,c中至少有一个不为0【解析】a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0.【答案】D2.若两个数之和为正数,则这两个数().A.一个是正数,一个是负数B.都是正数C.至少有一个是正数D.都是负数【解析】这两个数中至少有一个是正数.否则,若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数”相矛盾,故选C.【答案】C3.有以下结论:已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2;已知a,bR,|a|+|b|2”;的假设为“两根的绝对值不都小于1”.故的假设错误,的假设正确.【答案】D4.若a2+b2=c2,则a,b,c().A.都是偶数B.不可能都是偶数C.都是奇数D.不可能都是奇数【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,因此a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2c2,这与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以a,b,c不可能都是奇数.【答案】D5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时,应假设.【解析】“xa且xb”形式的否定为“x=a或x=b”.【答案】x=a或x=b6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:A+B+C=90+90+C180,这与三角形内角和为180矛盾,故假设错误;所以一个三角形不能有两个直角;假设ABC中有两个直角,不妨设A=90,B=90.上述步骤的正确顺序为.【解析】由反证法证明的步骤,知先反证,即;再推出矛盾,即;最后做出判断,肯定结论,即.所以正确的顺序应为.【答案】7.过平面内的一点A作直线a,使得a,求证:直线a是唯一的.【解析】假设直线a不唯一,则过点A至少还有一条直线b,使得b.因为直线a与直线b是两条相交直线,所以直线a与直线b可以确定一个平面.设和相交于过点A的直线c,因为a,b,所以ac,bc.因此,在平面内,过直线c上的点A就有两条直线a,b垂直于直线c,这与“平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线”矛盾,所以假设不成立,故直线a是唯一的.拓展提升(水平二)8.设a,b,c为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于零”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若P0,Q0,R0,则必有PQR0;反之,若PQR0,也必有P0,Q0,R0.因为当PQR0时,若P,Q,R不同时大于零,则P,Q,R中必有两个负数,一个正数.不妨设P0,Q0,即a+bc,b+ca,两式相加得b0,Q0,R0.【答案】C9.已知a,b,c(0,1),则对于(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,下列说法正确的是().A.不能同时大于14B.都大于14C.至少有一个大于14D.至多有一个大于14【解析】假设三个式子同时大于14,即(1-a)b14,(1-b)c14,(1-c)a14,三式相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a143.因为0a1,所以0a(1-a)1-a+a22=14.同理,0b(1-b)14,0c(1-c)14.所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c143.因为与矛盾,所以假设不成立,故选A.【答案】A10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖.有人走访了这四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是.【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.【答案】丙11.已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:1a,1b,1c不能构成等差数列.【解析】假设1a,1b,1c能构成等差数列,则有2b=1a+1c,即bc+ab=2ac.而由a,b,c构成等差数列,得2b=a+c.联立两式,得(a+c)2=4ac,即(a-c)2=0,于是得a=c,这与a,b,c构成公差不为0的等差数列矛盾.故假设不成立,因此1a,1b,1c不能构成等差数列.
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