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2.6.1曲线与方程学习目标：1.了解曲线与方程的对应关系，了解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念(难点、易错点)2.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题(重点)自 主 预 习探 新 知教材整理曲线的方程方程的曲线阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题1方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解满足以下关系：如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)0的曲线2方程与曲线的关系图2611判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f(x，y)0就是曲线的方程()(2)如果f(x，y)0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程()(3)若曲线C上的点满足方程f(x，y)0，则坐标不满足方程f(x，y)0的点不在曲线C上()(4)方程xy20是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程()(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2点A在方程x2(y1)210表示的曲线上，则m_. 【导学号：71392118】解析据题意，有m2(m1)210，解得m2或.答案2或3方程|y|2x|表示的曲线是_解析|y|2x|，y2x，表示两条直线答案两条直线4已知曲线C的方程为x2xy2y70，则下列四点中，在曲线C上的点有_(填序号)(1,2)；(1，2)；(2，3)；(3,6)解析把各点的坐标代入检验知，只有(1,2)满足方程答案合 作 探 究攻 重 难曲线与方程的概念下列命题正确的是_(填序号)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x3；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y2；到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1；ABC的顶点A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x0. 【导学号：71392119】解析正确，因为过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上任意一点的横坐标都是3，满足方程x3，满足方程x3的解为坐标的点都在过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上错误，因为到x轴距离为2的点的轨迹方程为|y|2，即y2.错误，因为到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|y|1即xy1.错误，因为三角形中线AD是一条线段，而不是直线，AD方程应为x0(3y0)答案名师指津判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.再练一题1若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，则下列命题正确的是_(填序号)方程f(x，y)0的曲线是C；方程f(x，y)0的曲线不一定是C；f(x，y)0是曲线C的方程；以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上解析只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答易知错误答案由方程确定曲线方程2x2y24x2y30表示什么图形？精彩点拨由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析自主解答方程的左边配方得2(x1)2(y1)20，而2(x1)20，(y1)20，2(x1)20，(y1)20，x10且y10，即x1，y1.方程表示点(1，1)名师指津曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.再练一题2方程4x2y26x3y0表示什么图形？解方程4x2y26x3y0等价于(2xy)(2xy)3(2xy)0，等价于(2xy)(2xy3)0，等价于2xy0或2xy30.故方程表示两条相交直线2xy0和2xy30.点与曲线的关系及应用(1)判断点A(4,3)，B(3，4)，C(，2)是否在方程x2y225(x0)所表示的曲线上；(2)点P(a1，a4)在曲线yx25x3上，则a的值是_. 【导学号：71392120】精彩点拨(1)由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程(2)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得自主解答(1)把点A(4,3)的坐标代入方程x2y225中，满足方程，且点A的横坐标满足x0，则点A在方程x2y225(x0)所表示的曲线上；把点B(3，4)的坐标代入x2y225，因为(3)2(4)23425，所以点B不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上把点C(，2)的坐标代入x2y225，得()2(2)225，满足方程，但因为横坐标不满足x0的条件，所以点C不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上(2)因为点P(a1，a4)在曲线yx25x3上，所以a4(a1)25(a1)3，即a26a50，解得a1或5.答案(2)1或5名师指津判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C的方程是f(x，y)0，点P的坐标为(x0，y0).,(1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)0上f(x0，y0)0.(2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)0上f(x0，y0)0.再练一题3若曲线y2xy2xk通过点(a，a)，aR，则实数k的取值范围是_解析曲线y2xy2xk通过点(a，a)，a2a22ak，k2a22a2，k，k的取值范围是.答案曲线与方程的关系探究问题1怎样理解曲线与方程的概念？提示定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形2理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？ 【导学号：71392121】提示(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5.(2)第二、四象限角平分线上的点与方程xy0.精彩点拨判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上自主解答(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，如点(1，5)，但是，以方程xy5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离的积等于5，因此，与两坐标轴距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(2)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限的角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是xy0.名师指津判断方程是不是曲线的方程的两个关键点缺一不可，一是检验点的坐标是否满足方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上，要判断点是否在方程的曲线上，只需验证点的坐标是否满足方程即可.再练一题4判断下列命题是否正确，并说明理由(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|2.解(1)不正确，因为以原点为圆心，r为半径的圆上的一点如点在圆上，但此点坐标不满足方程y.(2)不正确，因为坐标满足方程|x|2的点不一定在直线l上，如|2|2，但点(2,0)不在直线l上因此方程|x|2不是直线l的方程，l的方程是x2.当 堂 达 标固 双 基1设方程F(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是_(填序号)坐标满足f(x，y)0的点都不在曲线C上；曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)0；坐标满足f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0.解析因为命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0，是正确的，即正确答案2f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的_条件. 【导学号：71392122】解析f(x0，y0)0，可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上时，有f(x0，y0)0，f(x0，y0)0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件答案充要3若P(2，3)在曲线x2ay21上，则a的值为_解析P(2，3)在曲线x2ay21上，49a1，解得a.答案4如图262中，方程表示图中曲线的是_图262解析x2y21表示单位圆，故错；x2y20表示两条直线yx和yx，故错；lg xlg y0可化为xy1(x0，y0)，故错；只有正确答案5方程(xy2)0表示什么曲线？解(xy2)0变形为x2y290或表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线xy20在圆x2y290外面的两条射线
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