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四川省南充市2018届高三第一次高考适应性考试（一诊）数学理试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A必有1个 B1个或2个 C至多1个 D可能2个以上2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ）A B C D3. 已知向量是互相垂直的单位向量，且，则（ ）A B1 C6 D4. 已知变量与变量之间具有相关关系，并测得如下一组数据则变量与之间的线性回归方程可能为（ ）A B C D5.设，其中都是非零实数，若，那么 （ ）A1 B2 C0 D 6. 若，则（ ）A B C. D7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）A B4 C. 3 D8. 若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）A B C. D9. 如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（ ）A B C. D10.已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，则该球的体积为（ ）A B C. D11. 已知抛物线，直线，为抛物线的两条切线，切点分别为，则“点在上”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件12.已知函数（是自然对数的底数）.若，则的取值范围为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中有理项系数之和为 14. 函数的单调递增区间是 15若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是 16定义域为的偶函数满足对，有，且当时， ，若函数在上至多有三个零点，则的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和.（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）求数列的前项和.18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方（如 图）.（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.（以频率分布直方图中的频率作为概率）19. 如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求锐二面角的余弦值.20.已知椭圆的左焦点为，左顶点为.（1）若是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线与椭圆相交于不同的两点 (均不是长轴的端点），垂足为且，求证:直线恒过定点.21.已知，函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）令，已知函数，若对任意，总存在 ，使得成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的倾斜角；（2）设点和交于两点，求.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设，证明：.试卷答案一、选择题1-5: CCDBA 6-10: DABBA 11、12：CC二、填空题13. 32 14. 15. 4 16.三、解答题17.（1）证明：当时，由得，即，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，于是.（2）解：令，则，得，得所以.18.解：（1）由题意，得解得；由最高矩形中点横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数为20克；50个样本小球重量的平均值为 (克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24. 6克 （2）该盒子中小球重量在内的概率为0.2，的可能取值为0，1，2，3.由题意知，所以，所以的分布列为所以.（或者）19.（1）证明：取中点,连结.由题意可得,因为平面,平面,所以平面,同理可证平面.因为,所以平面平面,又平面,所以平面.（2）解：取的中点,连接.由题意可得两两垂直,以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.令，则.所以.设平面的法向量则令，则因为是平面的一个法向量所以所以锐二面角的余弦值为.20.解：（1）设，又 所以，因为点在椭圆上，所以，即，且，所以，函数在单调递增，当时，取最小值为0；当时，取最大值为12.所以的取值范围是.（2）由题意：联立得，由得设，则.，所以即，所以或均适合.当时，直线过点，舍去，当时，直线过定点.21.解：（1）因为，要使在为减函数，则需在上恒成立.即在上恒成立，因为在为增函数，所以在的最小值为，所以.（2）因为，所以.，当时，在上为递增，当时，在上为递减，所以的最大值为，所以的值域为.若对任意，总存在.使得成立，则，函数在的值域是在的值域的子集.对于函数，当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得；当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得或 (舍）.综上所述，的取值范围是.22.解：（1）由消去参数，得即的普通方程为由，得将代入得所以直线的斜率角为.（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)即(为参数)，代入并化简得设两点对应的参数分别为.则，所以所以.23. （1）解：当时，原不等式化为解得；当时,原不等式化为解得，此时不等式无解；当时，原不等式化为解.综上，或 （2）证明，因为.所以要证，只需证，即证，即证，即证，即证，因为，所以，所以，所以成立.所以原不等式成立.
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