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正态分布一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知随机变量XN(6,1)，且P(5X7)=a，P(4X8)=b，则P(4X7)=( )A. b-a2 B. b+a2 C. 1-b2 D. 1-a2（正确答案）B解：随机变量XN(6,1)，正态曲线的对称轴是x=6，P(1X5)=0.6826，P(5X7)=a，P(4X8)=b，P(7X8)=b-a2，P(4X7)=b-b-a2=b+a2故选：B根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P(4X7)本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题2. 某班有50名学生，一次考试的成绩(N)服从正态分布N(100,102).已知P(90100)=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为( )A. 10 B. 20 C. 30 D. 40（正确答案）A解：考试的成绩服从正态分布N(100,102). 考试的成绩关于=100对称，P(90100)=0.3，P(100110)=0.3，P(110)=0.2，该班数学成绩在110分以上的人数为0.250=10 故选A根据考试的成绩服从正态分布N(100,102).得到考试的成绩关于=100对称，根据P(90100)=0.3，得到P(100110)=0.3，从而得到P(110)=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于=100对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解3. 已知随机变量X服从正态分布N(3,2)，且P(x6)=0.9，则P(0x3)=( )A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7（正确答案）A【分析】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题.根据对称性，由P(x6)=0.9的概率可求出P(x6)=0.1，即可求出P(0x6)=1-0.9=0.1P(x6)=0.1，P(0x3)=0.5-P(x0)=0.4故选A4. 设随机变量服从正态分布N(,7)，若P(4)，则与D的值分别为( )A. =3,D=7 B. =3,D=7 C. =3，D=7 D. =3,D=7（正确答案）C解：随机变量服从正态分布N(,7)，P(4)，=4+22=3，D=7故选：C根据随机变量服从正态分布N(,7)，P(4)，由正态曲线的对称性得结论本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：(1)正态曲线关于直线x=对称；(2)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1，本题是一个基础题5. 已知随机变量ZN(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( ) 附：若ZN(,2)，则P(-Z+)=0.6826；P(-2Z+2)=0.9544；P(-3Z+3)=0.9974A. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539（正确答案）B解：由题意P阴影=P(0X1)=1-120.6826=1-0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为100000.6587=6587故选：B求出P阴影=P(04)=( )A. 16 B. 14 C. 13 D. 12（正确答案）A解：正态总体的概率密度函数为f(x)=12e-(x-2)22(xR)，总体X的期望为2，标准差为1，故f(x)的图象关于直线x=2对称，02f(x)dx=13，P(X4)=12-13=16，故选：A根据正态总体的概率密度函数的意义即可得出X的期望和标准差，再由概率分布的对称特点，即可得到答案本题考查正态分布的有关知识，同时考查概率分布的对称性及运算能力，正确理解正态总体的概率密度函数中参数、的意义是关键7. 已知随机变量XN(1,2)，若P(0x3)=0.5，P(0X1)=0.2，则P(X3)=( )A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8（正确答案）D解：由题意，P(1x3)=0.5-0.2=0.3，随机变量XN(1,2)，P(X3)=0.3+0.5=0.8，故选：D根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P(X3)本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题8. 设XN(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若XN(,2)，则P(-X+)=68.26%，P(-2X+2)=95.44%)A. .7539 B. 6038 C. 7028 D. 6587（正确答案）D【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算.本题考查了正态分布、几何概型，属于中档题【解答】解：XN(1,1)，=1，=1.+=2P(-X+)=68.26%，则P(0X2)=68.26%，则P(1X2)=34.13%，阴影部分的面积为：0.6587正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587故选D9. 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量服从正态分布N(,2)，则P(-+)=68.26%，P(-2+2)=95.44%)A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%（正确答案）B解：由题意P(-33)=68.26%，P(-66)=95.44%，所以P(36)=12(95.44%-68.26%)=13.59%故选：B由题意P(-33)=68.26%，P(-66)=95.44%，可得P(36)=12(95.44%-68.26%)，即可得出结论本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题10. 随机变量X服从正态分布(3,2)，且P(X4)=0.84，则P(2X4)=( )A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84（正确答案）C解：P(X2)=P(X4)=1-0.84=0.16，P(2X4)=P(X4)-P(X2)=0.84-0.16=0.68故选：C根据对称性先求出P(X2)，再得出P(2X4)本题考查了正态分布的特点，属于基础题11. 某校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,52)，且P(110)=0.96，则P(90100)的值为( )A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0.46（正确答案）D解：近似地服从正态分布N(100,52)，P(100)=0.5，P(100110)=P(110)-P(100)=0.96-0.5=0.46，P(90100)=P(100110)=0.46故选D根据正态分布曲线的对称性计算本题考查了正态分布的特点与概率计算，属于中档题12. 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩N(100,2)，已知P(80100)=0.5，P(100120)=P(80120)=P(100)-P(100120)，再根据分层抽样原理按比例抽取即可本题考查了正态分布的特点，分层抽样原理，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设随机变量N(2,4)，若P(a+2)=P(a+2)=P(3)=0.2，则P(-1)=_（正确答案）0.8解：随机变量服从正态分布N(1,2)，曲线关于x=1对称，P(3)=0.2，P(-1)=P(3)，P(-1)=1-P(3)=1-0.2=0.8故答案为：0.8根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P(3)=0.2，依据正态分布对称性，即可求得答案本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题15. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布N(110,102)，已知P(100110)=0.36，估计该班学生数学成绩在120分以上的有_ 人.（正确答案）7解：考试的成绩服从正态分布N(110,102). 考试的成绩关于=110对称，P=(120)=0.5-P(100110)=0.5-0.36=0.14，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为500.14=7(人)故答案为：7根据考试的成绩服从正态分布N(110,102).得到考试的成绩关于=110对称，根据P(100110)=0.36，得到P(120)=0.14，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解16. 若随机变量服从正态分布N(1,2)，且P(2)=0.8，则P(01)的值为_ （正确答案）0.3解：P(12)=P(2)-P(1)=0.8-0.5=0.3，P(01)=P(12)=0.3故答案为：0.3根据正态分布的对称性先求出P(12)，再求出P(01)本题考查了正态分布的性质，属于基础题三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x.=116i=116xi=9.97，s=116i=116(xi-x.)2=116(i=116xi2-16x.2)0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，16用样本平均数x.作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(-3,+3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(-3Z+3)=0.9974，0.9974160.9592，0.0080.09（正确答案）解：(1)由题可知尺寸落在(-3,+3)之内的概率为0.9974，则落在(-3,+3)之外的概率为1-0.9974=0.0026，因为P(X=0)=C160(1-0.9974)00.9974160.9592，所以P(X1)=1-P(X=0)=0.0408，又因为XB(16,0.0026)，所以E(X)=160.0026=0.0416；(2)()由(1)知尺寸落在(-3,+3)之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在(-3,+3)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程方法合理；()因为用样本平均数x.作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，且x.=116i=116xi=9.97，s=116i=116(xi-x.)2=116(i=116xi2-16x.2)0.212，所以-3=9.97-30.212=9.334，+3=9.97+30.212=10.606，所以9.22(-3,+3)=(9.334,10.606)，因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除(-3,+3)之外的数据9.22，则剩下的数据估计=9.9716-9.2215=10.02，将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知20.008，所以0.09(1)通过P(X=0)可求出P(X1)=1-P(X=0)=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)()由(1)及知落在(-3,+3)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；()通过样本平均数x.、样本标准差s估计、可知(-3,+3)=(9.334,10.606)，进而需剔除(-3,+3)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18. 在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(,2)(其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：16112.7，若zN(,2)，则P(-z+)=0.682，P(-2z82.7)=1-0.68262=0.1587，在这2000名考生中，能进入复试的有：20000.1587317人(3)由已知得的可能取值为1，2，3，P(=1)=C41C22C63=15，P(=2)=C42C21C63=35，P(=3)=C43C20C63=15，的分布列为： 1 2 3 P 15 35 15E=115+235+315=2(人)(1)由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式和方差公式能求出抽取的样本平均数x和样本方差s2.(2)由(1)知zN(70,161)，由此能求出P(z82.7)=1-0.68262=0.1587，从而能求出在这2000名考生中，能进入复试人数(3)由已知得的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望E()本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(,2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为=142.7511.95；若Z服从正态分布N(,2)，则P(-Z+)=0.6826，P(-2Z+2)=0.9544（正确答案）解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x.为x=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5(2)Z服从正态分布N(,2)，且=26.5，11.95，P(14.55Z38.45)=P(26.5-11.95Z26.5+11.95)=0.6826，Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826根据题意得XB(4,12)，P(X=0)=C40(12)4=116；P(X=1)=C41(12)4=14；P(X=2)=C42(12)4=38；P(X=3)=C43(12)4=14；P(X=4)=C44(12)4=116X的分布列为X01234P116143814116E(X)=412=2本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x为x=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5(2)P(14.55Z38.45)=P(26.5-11.95Z26.5+11.95)=0.6826，根据题意得XB(4,12)，P(X=0)=C40(12)4=116；P(X=1)=C41(12)4=14； P(X=2)=C42(12)4=38；P(X=3)=C43(12)4=14；P(X=4)=C44(12)4=116即可求得X的分布列、期望值
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