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八不等式选讲(B)1.(2018呼伦贝尔一模)已知a0,b0,且a+b=1.(1)若abm恒成立,求m的取值范围;(2)若4a+1b|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.2.(2018梅州二模)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.3.(2018葫芦岛二模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|.(1)若f(x)1m+1n(m0,n0)对任意xR恒成立,求m+n的最小值;(2)若f(x)ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围.4.(2018上饶三模)已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4.(1)当k=-3时,求不等式f(x)4的解集;(2)设k-1,且当x-k3,13时,都有f(x)g(x),求k的取值范围.1.解:(1)因为a0,b0,且a+b=1,所以ab(a+b2)2=14,当且仅当a=b=12时“=”成立,由abm恒成立,故m14.(2)因为a,b(0,+),a+b=1,所以4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab5+24baab=9,当且仅当a=2b时取等号,故若4a+1b|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|9,当x-2时,不等式化为1-2x+x+29,解得-6x-2,当-2x12,不等式化为1-2x-x-29,解得-2x12,当x12时,不等式化为2x-1-x-29,解得12x12,综上所述,x的取值范围为-6,12.2.解:(1)因为f(x)=|x+1|-|x-2|=-3,x2f(x)1,所以当-1x2时,2x-11,解得1x2;当x2时,31恒成立,故x2;综上,不等式f(x)1的解集为x|x1.(2)原式等价于存在xR使得f(x)-x2+xm成立,即mf(x)-x2+xmax.设g(x)=f(x)-x2+x.由(1)知,g(x)=-x2+x-3,x-1,-x2+3x-1,-1x-1,所以g(x)g(-1)=-1-1-3=-5;当-1x2时,g(x)=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴方程为x=32(-1,2),所以g(x)g(32)=-94+92-1=54;当x2时,g(x)=-x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=122,所以g(x)g(2)=-4+2+3=1;综上,g(x)max=54,所以m的取值范围为(-,54.3.解:(1)由题意可知,f(x)=-3x,x-1,-x+2,-1x0,n0,解得m+n83,当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为83.(2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的 直线,则f(x)g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方,由图象可知-3a73.4.解:(1)当k=-3时,f(x)=-6x+4,x1,故不等式f(x)4可化为x1,6x-44或13x1,24或x-1有3x-1-1,故-1k94.所以k的取值范围是(-1,94.
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