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2016-2017年天津市河西区2017届高三二模理科数学一、选择题：共8题1若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|，则z的虚部为A.-4B.-45C.4D.45【答案】D【解析】本题主要考查复数的实部与虚部、模与四则运算.因为(3-4i)z=|4+3i|，所以z=53-4i=3+4i5，则z的虚部为45.2设x，y满足2x+y4,x-y1,x-2y2,则z=x+yA.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与z=x+y在y轴上的截距之间的关系可知，当直线z=x+y过点A(2,0)时，目标函数z=x+y取得最小值，无最大值.3已知命题p:对任意xR,总有2x0;q:”x1“是”x2“的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】A【解析】本题主要考查复合命题的真假判断.p:对任意xR,总有2x0,由指数函数的值域知,这是真命题;q:”x1“是”x2“的充分不必要条件,这是假命题.q为真命题,pq是真命题.故选A.4执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：x=2,t=2,M=1,S=3,k=1;M=2,S=5,k=2;M=2,S=7,k=3,此时不满足条件，循环结束，输出S=7.5已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则A=A.6B.4C.3D.23【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，将角化为边是解决本题的关键.利用正弦定理将(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC的角化为边可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccosA,则cosA=12，所以A=36若直线ax-by+2=0(a0，b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1a+1b的最小值为A.32+2B.2C.14D.32+22【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、基本不等式，考查了转化思想与计算能力.因为直线ax-by+2=0被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，圆的圆心为(-1,2),半径为2，所以直线ax-by+2=0过圆心(-1,2),则有a+2b=2,所以1a+1b=12a+2b1a+1b=123+2ba+ab32+2,当且仅当2ba=ab时，等号成立.7在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积A.24B.22C.28D.216【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质、两条直线的位置关系.由双曲线方程2x2-y2=1可得渐近线方程为y=2x,令过C1的左顶点(-22,0)引C1的一条渐近线y=2x的平行线y=2x+1,该直线与另一条渐近线y=-2x的交点坐标为(-24,12),则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=122212=288已知f(x)=|2x-1|，当abf(c)f(b)，则必有A.a0，b0，c0B.a0，c0C.2-a2cD.12a+2c2【答案】D【解析】本题主要考查指数函数的图象与性质，考查了逻辑推理能力与数形结合思想.作出函数f(x)=|2x-1|的图象，如图所示，因为abf(c)f(b)，所以必有a0，0c|2c-1|，所以1-2a2c-1，则2a+2c1,故答案为D.二、填空题：共6题9设U=R，集合A=x|x2+3x+2=0，B=x|x2+(m+1)x+m=0，若(UA)B=，则m=.【答案】1或2【解析】本题主要考查集合的基本运算.A=x|x=-2或x=-1，解方程x2+(m+1)x+m=0可得x=-1或x=-m因为(UA)B=，所以BA，当-m=-1即m=1时，满足题意；当-m=-2，即m=2时，满足题意，故m=1或2.10若(x+a3x)8的展开式中x4的系数为7，则实数a=.【答案】12【解析】本题主要考查二项式定理及其通项的应用.(x+a3x)8展开式中的通项Tr+1=ar8rx8-4r3,令8-4r3=4可得r=3则a383=7，所以a=1211一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是.【答案】233【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体截去两个角上的三棱锥，且三棱锥中两个互相垂直的三条棱长均为1，则该几何体的体积V=23-21312111=23312如图，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM=AB+AC，则+=.【答案】12【解析】本题主要考查平面向量的线性运算与基本定理，考查了逻辑推理能力.令BH=tBC(0t0,则函数y=f(f(x)+1的所有零点构成的集合为.【答案】-3,-12,14,2【解析】本题主要考查分段函数、函数的零点，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.因为函数f(x)=x+1,x0,log2x,x0,所以ffx+1=0等价于fx0fx+1+1=0或fx0log2f(x)+1=0,求解可得fx=-2或fx=12即x+1=-2x0或x0log2x=-2或x+1=12x0或x0log2x=12，求解可得x=-3或x=14或x=-12或x=2，故答案为-3,-12,14,2三、解答题：共6题15已知向量a=(cosx,-12)，b=(3sinx,cos2x)，xR，设函数f(x)=ab.()求f(x)的最小正周期；()求f(x)在0,2上的最大值和最小值.【答案】()f(x)=ab=cosx3sinx-12cos2x=32sin2x-12cos2x=sin(2x-6)，最小正周期为T=.()当x0,2时，2x-6-6,56，由y=sinx图象可知x-6,2时单调递增，x2,56时单调递减，所以当2x-6=-6，即x=0时，f(x)取最小值-12；当2x-6=2，即x=3时，f(x)取最大值1.【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式、平面向量的数量积，考查了转化思想与计算能力.(1)化简fx=in(2x-6)，易得函数的周期；(2)由题意，2x-6-6,56，结论正弦函数的性质，易得结论.16盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分，现从盒内任取3个球.()求取出的3个球中至少有一个红球的概率；()求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；()设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列及期望.【答案】()P=1-C73C93=712.()记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B+C)=P(B)+P(C)=C21C32C93+C22C41C93=542.()可能的取值为0,1,2,3.P(=0)=C63C93=521，P(=1)=C31C62C93=4584，P(=2)=C32C61C93=314，P(=3)=C33C93=184.的分布列为：E()=0521+14584+2314+3184=1.【解析】本题主要考查随机事件的概率、互斥事件与对立事件、离散型随机变量的分布列与期望、排列组合，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)先求出所示事件的对立事件的概率，即可得出结果；(2)由题意可得，所求事件包含事件“取出1个红色球，2个白色球”与“取出2个红色球，1个黑色球”，则结果易得；(3)可能的取值为0,1,2,3，求出的每一个值的概率，即可得到的分布列与期望.17如图，已知梯形ABCD中，AD/BC，ADAB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF平面ABCD.()求证：DF/平面ABE；()求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；()在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.【答案】()证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,3)，F(-1,2,3)，BE=(-1,-2,3)，AB=(0,2,0)，设平面ABE的法向量n=(x,y,z)，-x-2y+3z=0,2y=0,不妨设n=(3,0,1)，又DF=(-1,2,3)，DFn=-3+3=0，DFn，又DF平面ABE，DF/平面ABE.()BE=(-1,-2,3)，BF=(-2,0,3)，设平面BEF的法向量m=(x,y,z)，-x-2y+3z=0,-2x+3z=0,不妨设m=(23,3,4)，|cos|=|mn|m|n|=10231=53131，平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为53131.()设DP=DF=(-1,2,3)=(-,2,3)，0,1，P(-,2,3)，BP=(-1,2-2,3)，又平面ABE的法向量n=(3,0,1)，sin=|cos|=|-3-3+3|2(+1)2+(2-2)2+32=34，82-6+1=0，=12或=14.当=12时，BP=(-32,-1,32)，|BP|=2；当=14时，BP=(-54,-32,34)，|BP|=2.综上，|BP|=2.【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质、直线与平面所成的角、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1) 取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，求出平面ABE的一个法向量n，再计算DFn=0成立，即可得出结论；(2)求出平面BEF的一个法向量m，再利用向量的夹角公式|cos|=|mn|m|n|求解即可；(3) 设DP=DF，0,1，由题意，sin=|cos|，求解易得结论.18数列an的前n项和为Sn，且Sn=n(n+1)(nN*).()求数列an的通项公式；()若数列bn满足：an=b13+1+b232+1+b333+1+bn3n+1，求数列bn的通项公式；()令cn=anbn4(nN*)，求数列cn的前n项和Tn.【答案】()当n=1时，a1=S1=2；当n2时，an=Sn-Sn-1=2n，知a1=2满足该式，数列an的通项公式为an=2n.()an=b13+1+b232+1+b333+1+bn3n+1(n1)，an+1=b13+1+b232+1+b333+1+bn3n+1+bn+13n+1+1，-得bn+13n+1+1=an+1-an=2，bn+1=2(3n+1+1)，而b1=8，故bn=2(3n+1)(nN*).()cn=anbn4=n(3n+1)=n3n+n，Tn=c1+c2+c3+cn=(13+232+333+n3n)+(1+2+n)，令Hn=13+232+333+n3n，则3Hn=132+233+334+n3n+1，-得，-2Hn=3+32+33+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1，Hn=(2n-1)3n+1+34，数列cn的前n项和Tn=(2n-1)3n+1+34+n(n+1)2.【解析】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了转化思想与错位相减法求和、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，利用an=Sn-Sn-1(n2)化简易得结论；(2)an=b13+1+b232+1+b333+1+bn3n+1(n1)，an+1=b13+1+b232+1+b333+1+bn3n+1+bn+13n+1+1，两式相减，结合(1)的结论易得结论；(3)cn=n3n+n,Tn=(13+232+333+n3n)+(1+2+n),分13+232+333+n3n与1+2+n两部分求和，第一部分利用错位相减法，结合等比数列的前n项和求解即可；第二部分利用等差数列的前n项和求解.19在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.()求椭圆E的方程；()设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.【答案】()由C：x2+y2-4x+2=0，得(x-2)2+y2=2，故圆C的圆心为点(2,0)，从而可设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，其焦距为2c，由题设知c=2，e=12，所以a=2c=4，b2=a2-c2=12，故椭圆E的方程为x216+y212=1.()设点P的坐标为(x0,y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：y-y0=k1(x-x0)，l2：y-y0=k2(x-x0)，且k1k2=12，由l1与圆C：(x-2)2+y2=2相切，得|2k1+y0-k1x0|k12+1=2，即(2-x0)2-2k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0，同理可得(2-x0)2-2k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0，从而k1，k2是方程(2-x0)2-2k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的两个实根，于是2-x02-20,=8(2-x0)2+y02-20,且k1k2=y02-2(2-x0)2-2=12，由x0216+y0212=1,y02-2(2-x0)2-2=12,得5x02-8x0-36=0解得x0=-2或x0=185.由x0=-2，得y0=3；由x0=185，得y0=575，它们满足式，故点P的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或(185,575)或(185,-575).【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆的位置关系、直线的方程与斜率，考查了方程思想与逻辑推理能力.(1)由题意，c=2，则由椭圆的离心率求出a、b的值，则可得椭圆方程；(2) 设点P的坐标为(x0,y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：y-y0=k1(x-x0)，l2：y-y0=k2(x-x0)，且k1k2=12，由直线与圆相切，由点到直线的距离公式，化简可得(2-x0)2-2k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0，(2-x0)2-2k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0，则k1，k2是方程(2-x0)2-2k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的两个实根，再结合椭圆方程求解即可.20设kR，函数f(x)=lnx-kx.()若k=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；()若f(x)无零点，求实数k的取值范围；()若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx22.【答案】()函数的定义域为(0,+)，f(x)=1x-k=1-kxx，当k=2时，f(1)=-1，则切线方程为y-(-2)=-(x-1)，即x+y+1=0.()若k0，f(x)是区间(0,+)上的增函数，f(1)=-k0，f(ek)=k-kek=k(1-ek)0，f(1)f(ek)0，令f(x)=0，得x=1k，在区间(0,1k)上，f(x)0，函数f(x)是增函数；在区间(1k,+)上，f(x)0，函数f(x)是减函数；故在区间(0,+)上，f(x)的最大值为f(1k)=ln1k-1=-lnk-1，由于f(x)无零点，须使f(1k)=-lnk-11e，故所求实数k的取值范围是(1e,+).()设f(x)的两个相异零点为x1，x2，设x1x20，f(x1)=0，f(x2)=0，lnx1-kx1=0，lnx2-kx2=0，lnx1-lnx2=k(x1-x2)，lnx1+lnx2=k(x1+x2)，x1x20，要证lnx1+lnx22，只需证k(x1+x2)2，只需lnx1-lnx2x1-x22x1+x2，等价于lnx1x22(x1-x2)x1+x2，设t=x1x21上式转化为lnt2(t-1)t+1(t1)，设g(t)=lnt-2(t-1)t+1，g(t)=(t-1)2t(t+1)20，g(t)在(1,+)上单调递增，g(t)g(1)=0，lnt2(t-1)t+1，lnx1+lnx22.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质与零点，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)求导得切线的斜率f(1)，则可得切线方程；(2)fx=1-kxx，k0三种情况讨论函数的单调性并求出函数的最值，则易得结论；(3)由题意，设x1x20，f(x1)=0，f(x2)=0，化简可得lnx1-lnx2=k(x1-x2)，lnx1+lnx2=k(x1+x2)，则只需证k(x1+x2)2，只需lnx1-lnx2x1-x22x1+x2，整理，设t=x1x21并换元，构造函数，求导并判断单调性，即可得出结论.
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