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2.3数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n03.2数学归纳法的框图表示基础自测1思考辨析(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()答案(1)(2)(3)2下面四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN*)中，当n1时，式子的值为1B式子1kk2kn1(nN*)中，当n1时，式子的值为1kC式子1(nN*)中，当n1时，式子的值为1D设f(n)(nN*)，则f(k1)f(k)CA中，n1时，式子1k；B中，n1时，式子1；C中，n1时，式子1；D中，f(k1)f(k).故正确的是C.3如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n_成立. 【导学号：31062162】答案24已知Sn，则S1_，S2_，S3_，S4_，猜想Sn_.解析分别将1,2,3,4代入得S1， S2，S3，S4，观察猜想得Sn.答案合 作 探 究攻 重 难用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_. 【导学号：31062163】(2)用数学归纳法证明：(nN*)解析(1)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1) (k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)答案2(2k1)(2)证明： 当n1时，成立假设当nk(nN*)时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式也成立由可得对于任意的nN*等式都成立规律方法用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证：1 (nN*)证明当n1时，左边1，右边，所以等式成立假设nk(kN*)时， 1成立那么当nk1时，1，所以nk1时，等式也成立综上所述，对于任何nN*，等式都成立.归纳猜想证明已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 【导学号：31062164】 解S1 ；S2 ；S3 ；S4 .可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Sn .下面我们用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1时，左边S1 ，右边 ，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即 ，当nk1时， ，所以，当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN*都成立规律方法(1)“归纳猜想证明”的一般环节(2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前n项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题跟踪训练2数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明. 【导学号：31062165】解由a12a1，得a11；由a1a22 2a2，得a2 ；由a1a2a32 3a3，得a3 ；由a1a2a3a42 4a4，得a4 .猜想an .下面证明猜想正确：(1)当n1时，由上面的计算可知猜想成立(2)假设当nk时猜想成立，则有ak ，当nk1时，Skak12(k1)ak1，ak1k1 (2k ) ，所以，当nk1时，等式也成立由(1)和(2)可知，an 对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明不等式探究问题1你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，；(2)，；(3)，.提示：(1)n；(2)；(3)，2，2；(2)；(3)1 2k 1 .又1 k2k (k1)，即当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有的nN*都成立母题探究：1.(变条件)用数学归纳法证明：11)证明(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以，当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立2(变条件)用数学归纳法证明：12(n2)证明(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk时命题成立，即12.当nk1时，12222.命题成立由(1)和(2)知原不等式在n2时均成立规律方法用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)g(k)，求证f(k1)g(k1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当nk1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论. 当 堂 达 标固 双 基1用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1成立时，左边计算所得的项是() 【导学号：31062166】A1B1aC1aa2 D1aa2a3C当n1时，左边1aa111aa2，故C正确2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是()A(2k1)(2k2)B(2k1)(2k1)C(2k2)(2k3)D(2k2)(2k4)C当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选C.3已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推测，当n2时，有_答案f(2n)4用数学归纳法证明：.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析从不等式结构看，左边nk1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边nk1时，式子为即，不等式为.答案.5用数学归纳法证明：当n2，nN*时，. 【导学号：31062167】证明(1)当n2时，左边1，右边，n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即，那么当nk1时，.当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)知，对任意n2，nN*，等式都成立
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