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第十章算法初步、复数与选考内容第1讲程序框图及简单的算法案例1(2017年北京)执行如图X1011所示的程序框图，输出s的值为()图X1011A2 B. C. D.2(2016年北京)执行如图X1012所示的程序框图，输出的s值为()图X1012A8 B9 C27 D363(2015年天津)阅读程序框图(图X1013)，运行相应的程序，则输出S的值为()图X1013A10 B6 C14 D184(2017年广东调研)执行如图X1014所示的程序框图后输出S的值为()图X1014A0 B C. D.5(2016年天津)阅读下面的程序框图(如图X1015)，运行相应的程序，则输出S的值为_ 图X1015 图X10166(2017年江南名校联考)某程序框图如图X1016所示，判断框内为“kn？”，n为正整数，若输出S26，则判断框内的n_.7(2017年广东惠州三模)执行如图X1017所示的程序框图，如果输出y的结果为0，那么输入x的值为()图X1017A. B1或1 C1 D18(2017年广东深圳二模)孙子算经是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的孙子算经共三卷卷中有一问题：“今有方物一束外周，一市有三十二枚，问：积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一市的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解如图X1018，是解决这类问题的程序框图，若输入n40，则输出S的结果为_图X10189(2017年广东深圳一模) 执行如图X1019所示的程序框图，若输入p2017，则输出i的值为()图X1019A335 B336 C337 D33810(2017年江西南昌二模)执行如图X10110程序框图，输出S为()图X10110A. B. C. D.第2讲复数的概念及运算1(2017年天津)已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_2(2017年新课标)(1i)(2i)()A1i B13i C3i D33i3(2015年山东)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1i B1i C1i D1i4若i为虚数单位，图X1021中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是() 图X1021AE BF CG DH5(2017年广东深圳一模)若复数(aR)为纯虚数，其中i为虚数单位，则a()A2 B3 C2 D36(2017年新课标)设复数z满足(1i)z2i，则|z|()A. B. C. D27(2012年新课标)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2；p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i；p4：z的虚部为1.其中的真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p48(2017年广东广州一模)复数(1i)2的共轭复数是()A1i B1i C1i D1i9(2017年广东广州一模)复数的虚部是()A2 B1 C1 D210(2016年北京)设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.11(2016年天津)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_12(2017年江苏)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_13(2017年浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.14(2017年江西南昌二模)若ti(i为虚数单位，a，tR)，则ta()A1 B0 C1 D2第3讲坐标系与参数方程第1课时坐标系1(2017年湖北八校联考)将圆x2y21上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C.(1)写出曲线C的参数方程；(2)设直线l：3xy10与曲线C的两交点分别为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程2(2017年广东华附执信深外联考)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(为参数，R)，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C2：sin，曲线C3：2cos .(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；(2)设A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值3(2014年新课标)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标4(2015年新课标)在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2 (y2)21，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的 面积5(2017年广东汕头一模)已知曲线C的极坐标方程是6cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程(普通方程)；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|2 ，求直线l的倾斜角的值6已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设M是直线l上任意一点，过M作圆C的切线，切点为A，B，求四边形AMBC面积的最小值7(2017年广东深圳一模)在平面直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程；(2)若直线l与曲线E相交于点A，B两点，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值第2课时参数方程1(2016年江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长2(2017年广东广州二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为xy20，曲线C的参数方程为(为参数)，设直线l与曲线C交于A，B两点(1)求线段AB的长；(2)已知点P在曲线C上运动，当PAB的面积最大时，求点P的坐标及PAB的最大面积3(2017年广东东莞二模)已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos .(1)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)若直线(R)与曲线C1交于P，Q两点，求线段PQ的长度4(2015年湖南)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C 的交点为A，B，求|MA|MB|的值5在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：4cos (0,00,00)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|MN|，求实数m的值第4讲不等式选讲第1课时不等式的证明1(2016年江苏)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.2(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)|2|x|1|.(1)求不等式f(x)1的解集A；(2)当m，nA时，证明：|mn|mn1.3(2017年广东华附执信深外联考)设函数f(x)|xa|，aR.(1)当a2时，解不等式：f(x)6|2x5|；(2)若关于x的不等式f(x)4的解集为1,7，且两正数s和t满足2sta，求证：6.4(2013年新课标)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.5(2017年广东东莞二模)已知函数f(x)|x3|x1|的最小值为m.(1)求m的值以及此时的x的取值范围；(2)若实数p，q，r满足p22q2r2m，证明：q(pr)2.6(2014年新课标) 若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由7(2015年新课标)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件8(2016年新课标)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.第2课时绝对值不等式1(2017年新课标)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求实数m的取值范围2(2017年广东广州一模)已知函数f(x)|xa1|x2a|.(1) 若f(1)3，求实数a的取值范围；(2) 若a1，xR，求证：f(x)2.3已知函数f(x)|xa|2x1|(aR)(1)当a1时，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)2x的解集包含，求实数a的取值范围4已知函数f(x)|2x1|x|2.(1)解不等式f(x)0；(2)若存在实数x，使得f(x)|x|a，求实数a的取值范围5(2017年广东深圳二模)已知函数f(x)|x12a|xa2|，aR.(1)若f(a)2|1a|，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)1存在实数解，求实数a的取值范围6(2017年广东汕头一模)已知函数f(x)|x|x2|.(1)求关于x的不等式f(x)3的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)a的解集不是空集，求实数a的取值范围7(2017年广东深圳一模)已知f(x)|xa|，g(x)|x3|x，记关于x的不等式f(x)g(x)的解集为M.(1)若a3M，求实数a的取值范围；(2)若M，求实数a的取值范围8(2017年广东珠海二模)已知函数f(x)|2x1|x|a.(1)若a1，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)2x有三个不同的解，求实数a的取值范围第十章算法初步、复数与选考内容第1讲程序框图及简单的算法案例1C解析：k0时，03成立，第一次进入循环k1，s2；13成立， 第二次进入循环k2，s；25不成立；i224，S18414,45不成立；i248，S1486,85成立；输出6.故选B.4A解析：第一次循环后S，i2；笫二次循环后S，i3；第三次循环后S0，i4依次下去，S的值变化周期为3.因为20163672，所以最后输出S的值为0.故选A.54解析：第一次循环，S8，n2；第二次循环，S2，n3；第三次循环，S4，n4；结束循环，输出S4.64解析：依题意，执行题中的程序框图，第一次循环，k112，S2124；第二次循环，k213，S24311；第三次循环，k314，S211426.因此当输出S26时，判断框内的条件n4.7D解析：程序框图表示y所以解得x1.解集为空所以x1.故选D.8121解析：第一次循环，n40832，S403272；第二次循环，n32824，S722496; 第三次循环，n24816，S9616112; 第四次循环，n1688，S1128120; 第五次循环，n880，S1200120，此时，n0，满足题意，结束循环，输出S1201121.9C解析：第1步，n1，r1，s1；第2步，n2，r0，s2；第3步，n3，r1，s0；第4步，n4，r0，s1；第5步，n5，r1，s2；第6步，n6，r0，s0；此时，i1，依此类推，当n为6的倍数时，i增加1，当n2016时，共有336个6的倍数，继续循环，可得当np时，i337.故选C.10A解析：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i1时，有S；当i2时，有S；当i3时，有S；当i4时，有S；当i5时，有S；当i6时，有S.所以输出S.故选A.第2讲复数的概念及运算12解析：i为实数，则0，a2.2B解析：(1i)(2i)2i2i113i.故选B.3A解析：因为i，所以i(1i)1i.所以z1i.故选A.4D解析：由题图知，复数z3i，2i.表示复数的点为H.5C解析：因为i为纯虚数，所以a2.故选C.6C解析：由题意可得z.由复数求模的法则，可得|z| .故选C.7C解析：z1i.p1：|z|，p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i，p4：z的虚部为1.8B解析：(1i)22i1i1i，共轭复数为1i.9B解析：1i，故虚部为1.101解析：(1i)(ai)a1(a1)iRa1，故填1.112解析：(1i)(1bi)1b(1b)ia，则所以2.故答案为2.12.解析：|z|(1i)(12i)|1i|12i|.1352解析：(abi)234ia2b22abi34i解得a2b25，ab2.14A解析：因为tiaiti(12i)ti2t，则a2.所以ta1.故选A.第3讲坐标系与参数方程第1课时坐标系1解：(1)由坐标变换公式得代入x2y21中，得9x2y21.故曲线C的参数方程为(2)由题意知，P1，P2(0，1)线段P1P2的中点M，kP1P23.故P1P2线段中垂线的方程为y，即3x9y40，即极坐标方程为3cos 9sin 40.2解：(1)由C1：得y1cos2(x1)2.曲线C1的普通方程为y(x1)2(0x2)由C2：sin，得曲线C2的直角坐标系普通方程为xy10.由得4x212x50.解得x，y.点M的直角坐标为.(2)由C3：2cos ，得22cos .曲线C3的直角坐标系普通方程为x2y22x0，即(x1)2y21.则曲线C3的圆心(1,0)到直线xy10的距离d.圆C3的半径为1，|AB|min1.3解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知，C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同则tan t，t.故D的直角坐标为，即.4解：(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得23 40.解得12 ，2.|MN|12.因为C2的半径为1，则C2MN的面积为1sin 45.5解：(1)由6cos ，得26cos .x2y22，xcos ，曲线C的直角坐标方程为x2y26x0，即(x3)2y29.(2)将代入圆的方程，得(tcos 2)2(tsin )29.化简，得t24tcos 50.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|t1t2|2 .16cos28.解得cos .0，)，或.6解：(1)圆C的参数方程为(为参数)，圆C的普通方程为(x3)2(y4)24.由cos，得cos sin 2.cos x，sin y，直线l的直角坐标方程为xy20.(2)圆心C(3，4)到直线l：xy20的距离为d，由于M是直线l上任意一点，则|MC|d.四边形AMBC面积S2|AC|MA|AC|22.四边形AMBC面积的最小值为.7(1)解：曲线E的普通方程为1，极坐标方程为21，所求的极坐标方程为32cos242sin212.(2)证明：不妨设点A，B的极坐标分别为A(1，)，B，则即，即(定值)第2课时参数方程1解：直线l的参数方程化为普通方程为xy0，椭圆C的参数方程化为普通方程为x21，联立方程组，得解得或A(1,0)，B.故AB.2解：(1)曲线C的普通方程为1.将直线xy20代入1中消去y，得x23x0.解得x0，或x3.所以点A(0，2)，B(3,1)所以|AB|3 .(2)在曲线C上求一点P，使PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大设过点P且与直线l平行的直线方程yxb.将yxb代入1整理，得4x26bx3(b24)0.令(6b)2443(b24)0，解得b4.将b4代入方程4x26bx3(b24)0，解得x3.易知当点P的坐标为(3,1)时，PAB的面积最大且点P(3,1)到直线l的距离为：d3 .所以PAB的最大面积为S|AB|d9.3解：(1)因为故(x)2(y1)29.故x2y22 x2y50.故曲线C1的极坐标方程为22 cos 2sin 50.因为2cos ，所以22cos .所以C2的直角坐标方程为x2y22x0或写成(x1)2y21(2)设P，Q两点所对应的极径分别为1，2，将(R)代入22 cos 2sin 50中，整理，得2250.故122，125.故|PQ|12|2 .4解：(1)2cos 等价于22cos ，将2x2y2，cos x代入，得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入，得t25 t180.设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知|MA|MB|t1t2|18.5解：(1)将直线l的参数方程：消去参数t，得普通方程xy2 0.将代入xy2 0，得cos sin 2 0.化简，得cos.(注意解析式不进行此化简也不扣步骤分)(2)方法一，C的普通方程为x2y24x0.由解得或所以直线l与直线C交点的极坐标分别为，.方法二，由得sin0.又因为0,00，故可设t1，t2是上述方程的两实数根所以所以t10，t20.又直线l过点P(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|t1，|PB|t2.所以.7解： (1)由得所以(x2)2y24.又由4sin ，得24sin .所以x2y24y.把两式作差，得yx.代入x2y24y，得交点为(0,0)，(2,2)(2)如图D187，由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大图D187此时|AB|2 4.O到AB的距离为，OAB的面积为S(2 4)22 .8解：(1)(t为参数)，即直线l的普通方程为xy10.sin tan 4m，2sin24mcos .由得曲线C的直角坐标方程为y24mx(m0)(2) y24mx，x0.设直线l上的点M，N对应的参数分别是t1，t2(t10，t20)，则|PM|t1，|PN|t2.|PM|MN|，|PM|PN|.t22t1.将代入y24mx，化简，得t24 (m1)t8(m1)0.又t22t1，解得m1，或m.m0，m.第4讲不等式选讲第1课时不等式的证明1证明：由a0，|x1|，得|2x2|.又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a，即|2xy4|a.2(1)解：由|2|x|1|1，得12|x|11，即|x|1.解得1x1.所以A.(2)证明：证法一，|mn|2(mn1)2m2n2m2n21(m21)(n21)，因为m，nA，故1m1，1n1，m210，n210.故(m21)(n21)0，|mn|2(mn1)2.又显然mn10，故|mn|mn1.证法二，因为m，nA，故1m1，1n1, 而mn(mn1)(m1)(1n)0.mn(m1)(1n)0，即(mn1)mnmn1，故|mn|mn1.3(1)解：当a2时，不等式可化为|x2|2x5|6，或或由，得x；由，得x；由，得x.原不等式的解集为.(2)证明：不等式f(x)4，即4xa4，a4xa4.a41，且a47.a3.(2st)6.即6，当且仅当s，t2时取等号4证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设，得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5(1)解：依题意，得f(x)|x3|x1|x3x1|4，故m的值为4.当且仅当(x3)(x1)0，即3x1时等号成立，即x的取值范围为.(2)证明：因为p22q2r2m，所以(p2q2)(q2r2)4.因为p2q22pq，当且仅当pq时等号成立，q2r22qr，当且仅当qr时等号成立，所以(p2q2)(q2r2)42pq2qr.故q(pr)2，当且仅当pqr时等号成立6解：(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324 ，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4 .(2)由(1)知，2a3b2 4 .由于4 6，从而不存在a，b，使2a3b6.7证明：(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2.即(ab)24abcd.由(1)，得.若，则()2()2.即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件8(1)解：f(x)当x时，由f(x)2，得2x1，1x.当x时，f(x)2，x.当x时，由f(x)2，得2x2.解得x1，x1.f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2.因此|ab|1ab|.第2课时绝对值不等式1解：(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11.解得1x2.当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x，而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且当x时，|x1|x2|x2x.故实数m的取值范围为.2(1)解：因为f(1)3，所以|a|12a|3.当a0时，得a(12a).所以a0; 当0a时，得a(12a)2.所以0a； 当a时，得a(12a)3.解得a.所以a.综上所述，实数a的取值范围是.(2)证明：因为a1，xR, 所以f(x)|xa1|x2a|(xa1)(x2a)|3a1|3a12.3解：(1)当a1时，不等式f(x)2可化为|x1|2x1|2.当x时，不等式为3x2，解得x.故x；当1x时，不等式为2x2，解得x0.故1x0；当x1时，不等式为3x2，解得x.故x1.所以原不等式的解集为.(2)因为f(x)2x的解集包含，则当x时，f(x)2x恒成立不等式可化为|xa|1，解得a1xa1.由已知，得解得a0.所以实数a的取值范围是.4解：(1)当x时，12xx2x3，所以x3；当x0，则|a|10.解得1a1.综上所述，实数a的取值范围是a|1a1(2)若关于x的不等式f(x)1存在实数解，则f(x)min1.又f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2，所以(a1)21，解得0a2.所以实数a的取值范围是a|0a26解：(1)f(x)3，即|x|x2|3，原不等式可化为或或解得x0或0x2或2x.不等式的解集为.(2)f(x)|x|x2|x(x2)|2，若关于x的不等式f(x)2.实数a的取值范围是(2，)7解：(1)依题意，有|2a3|a|(a3)若a，则2a33.a3.若0a，则32a3.0a.若a0，则32aa(a3)，无解综上所述，实数a的取值范围为(0,3)(2)由题意可知，当x1,1时，f(x)g(x)恒成立，|xa|3恒成立，即3xa3x.当x1,1时恒成立，2a2.8解：(1)当a1时，不等式f(x)0可化为|2x1|x|10，或或解得x2，或x0.不等式的解集为(，20，)(2)由f(x)2x，得a2x|x|2x1|.令g(x)2x|x|2x1|，则g(x)作出函数yg(x)的图象，如图D188，图D188易知A，B(0，1)，结合图象知，当1a时，函数ya与yg(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)2x有三个不同的解实数a的取值范围为.
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