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6.1数列的概念及其表示考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.数列的有关概念、规律及应用了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数2016课标全国,17;2014课标,16选择题2.数列的通项及前n项和了解递推公式的概念及数列前n项和的定义2014湖南,16;2013课标,14填空题、解答题分析解读了解数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n项和之间的关系,了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查数列的有关概念和性质,培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分值约为5分,属于中低档题.五年高考考点一数列的有关概念、规律及应用1.(2014课标,16,5分)数列an满足an+1=11-an,a8=2,则a1=.答案2.(2016课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解析(1)由题意得a2=12,a3=14.(5分)(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以an+1an=12.故an是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.(12分)3.(2014大纲全国,17,10分)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1.所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.考点二数列的通项及前n项和1.(2013课标,14,5分)若数列an的前n项和Sn=23an+13,则an的通项公式是an=.答案(-2)n-12.(2014江西,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2-n2,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.解析(1)由Sn=3n2-n2,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2.经验证,a1=1符合an=3n-2,所以数列an的通项公式为an=3n-2.(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mN*,且mn,所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.3.(2014湖南,16,12分)已知数列an的前n项和Sn=n2+n2,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.解析(1)当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n2-(n-1)2+(n-1)2=n.故数列an的通项公式为an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则A=2(1-22n)1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.教师用书专用(4)4.(2013江西,16,12分)正项数列an满足:an2-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=1(n+1)an,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由an2-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于an是正项数列,所以an=2n.(2)由于an=2n,bn=1(n+1)an,则bn=12n(n+1)=121n-1n+1,所以Tn=12（1-12+12-13+1n-1-1n+1n-1n+1）=121-1n+1=n2(n+1).三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一数列的有关概念、规律及应用1.(2018湖北枣阳12月模拟,2)已知数列2,5,22,11,则25是这个数列的()A.第6项 B.第7项C.第11项D.第19项答案B2.(2018山西晋中五校联考,2)现在有一列数:2,32,54,78,1332,1764,按照规律,横线中的数应为()A.916B.1116C.12D.1118答案B3.(2018安徽铜陵12月模拟,7)大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,则此数列第20项为()A.180B.200C.128D.162答案B4.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,4)已知数列an满足:m,nN*,都有anam=an+m,且a1=12,那么a5=()A.132B.116C.14D.12答案A5.(2017湖北重点高中期中联考,12)已知数列an是递增数列,且对于任意nN*,an=n2+2n+1,则实数的取值范围是()A.-1B.-32D.-32答案C考点二数列的通项及前n项和6.(2018四川宜宾期中,6)数列an为递增的等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则数列an的通项公式为()A.an=n-2B.an=2n-4C.an=3n-6D.an=4n-8答案B7.(2017宁夏银川九中期中,5)已知数列an满足a1=1,an+1=2an(n为正奇数),an+1(n为正偶数),则其前6项之和是()A.16B.20C.33D.120答案C8.(2017辽宁大连期中联考,16)在数列an中,a1=1,an+1=2anan+2,则数列an的通项an=.答案2n+19.(人教A必5,二,1,A5,变式)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式:.答案an=n210.(2018河北“名校联盟”高三教学质量监测,17)已知数列an的前n项和Sn=n2+kn,其中k为常数,a6=13.(1)求k的值及数列an的通项公式;(2)若bn=2n(an+1),求数列bn的前n项和Tn.解析(1)Sn=n2+kn,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+k-1.当n=6时,a6=11+k=13,解得k=2,当n2时,an=2n+1.当n=1时,a1=S1=1+2=3,也满足上式.所以an=2n+1(nN*).(2)bn=2n(an+1)=2n(2n+2)=1n(n+1)=1n-1n+1,Tn=1-12+12-13+1n-1-1n+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1,所以数列bn的前n项和Tn=nn+1.B组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2017广东五校协作体一模,11)数列an满足a1=1,且an+1=a1+an+n(nN*),则1a1+1a2+1a2 016等于()A.4 0322 017B.4 0282 015C.2 0152 016D.2 0142 015答案A2.(2017江西六校期中联考,11)若数列an满足an+12n+5-an2n+3=1,且a1=5,则数列an的前100项中,能被5整除的项数为()A.42B.40C.30D.20答案B二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2018江苏无锡期中,14)斐波那契数列又称黄金分割数列,因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,则该数列的第10项为.答案554.(2018辽宁大连基础检测,15)数列an满足:nan+2+(n+1)an=(2n+1)an+1-1,a1=1,a2=6,则an=.答案2n2-n5.(2016安徽江南十校3月联考,16)已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,2Sn=(n+1)an,若存在唯一的正整数n,使得不等式an2-tan-2t20成立,则实数t的取值范围为.答案-2t-1或12t1三、解答题(共15分)6.(2017安徽江淮十校第一次联考,19)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,2Sn=(n+1)an,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=1(n+2)an,数列bn的前n项和为Tn,试比较Tn与34的大小.解析(1)2Sn=(n+1)an,nN*,当n2时,2Sn-1=nan-1,可得2Sn-2Sn-1=2an=(n+1)an-nan-1(n2).ann=an-1n-1(n2),又a1=1,ann=an-1n-1=a11=1,an=n(nN*).(2)由(1)可得,bn=1(n+2)an=1n(n+2)=121n-1n+2,数列bn的前n项和Tn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+234.Tn34.C组20162018年模拟方法题组方法1根据数列的前几项求数列通项公式的方法1.(2018湖北襄樊五中12月月考,8)已知数列an满足an=5n-1(nN*),将数列an中的整数项按原来的顺序组成新数列bn,则b2 017的末位数字为()A.8B.2C.3D.7答案B2.(2017湖北重点高中期中联考,18)已知数列an的前n项和是Sn,且满足2Sn=3an-12(nN*).(1)求a1,a2,a3,a4,并猜想通项an(不用证明);(2)设bn=1+2log3(2an),求证:1b1b2+1b2b3+1bnbn+112.解析(1)当n=1时,2a1=3a1-12,得a1=12;当n=2时,2(a1+a2)=3a2-12,得a2=32;当n=3时,2(a1+a2+a3)=3a3-12,得a3=92;当n=4时,2(a1+a2+a3+a4)=3a4-12,得a4=272.猜想:an=3n-12(nN*).(2)证明:把an=3n-12代入bn=1+2log3(2an),得bn=1+2log33n-1=2n-1,1b1b2+1b2b3+1bnbn+1=113+135+1(2n-1)(2n+1)=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+10,解得2-3n2+3.b1b2b3b5b6bn.n=4时,bn取得最大值,b4=12.8.(2016福建四地六校第三次联考,17)已知正项数列an的前n项和为Sn,且Sn,an,12成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log2an+2,设数列1bnbn+1的前n项和为Tn,证明12Tn1.解析(1)由Sn,an,12成等差数列,得2an=Sn+12,当n=1时,2a1=S1+12,又S1=a1,a1=12;当n2时,由Sn=2an-12,得Sn-1=2an-1-12,两式相减得an=2an-2an-1,an=2an-1(n2),由an为正项数列得an0,anan-1=2(n2),因此数列an是以12为首项,2为公比的等比数列,故an=2n-2.(2)证明:由(1)知bn=log2an+2=log22n-2+2=n,1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,故Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1,又nN*,12Tn1.
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