专题22 简单线性规划
一、 考纲要求：
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
二、概念掌握及解题上的注意点：
1. 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式.若满足不等式，则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分.
(2)当不等式中不等号为≥或≤时，边界为实线，不等号为＞或＜时，边界应画为虚线，若直线不过原点，特殊点常取原点.
2.求目标函数最值的解题步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.
3.常见的三类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
三、高考考题题例分析：
例1.（2018课标卷I） 若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 ．
【答案】6
例2.（2018课标卷II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 ．
【答案】9
【解析】：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，
由，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
例3.（2018北京卷）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是 ．
【答案】3
例4.（2018天津卷）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（ ）
A．6 B．19 C．21 D．45
【答案】C
例5.（2018浙江卷）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】最小值-2，最大值8
例6.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：绘制不等式组表示的可行域，
目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值，
数形结合可得目标函数在点 处取得最小值 ，故选A。
例7.(2017北京卷)若x，y满足 则x + 2y的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】：如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
例8.(2017课标I)设x，y满足约束条件，则的最小值为 .
【答案】
【解析】：不等式组表示的可行域如图所示，
简单线性规划练习
一、选择题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
【答案】C
【解析】： (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或
画图可知选C．
2．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】A
3.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 ( )
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【解析】：作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2,0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为2＝，故选B．
4.若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
【答案】 C
【解析】：
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C．
5．已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝ ( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
6.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：
根据约束条件作出可行域如图中阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组
求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B．
7.若变量x，y满足约束条件则的最大值为 ( )
A．1 B．3 C． D．5
【答案】C
8.已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是 ( )
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】： 作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，
此时z最大，
9.若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是 ( )
A．4 B．9
C．10 D．12
【答案】C
【解析】：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C．
10.若x，y满足，且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为 ( )
A． B．
C．1 D．2
【答案】D
【解析】：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2,4)，B，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当m＝时，经检验不符合题意，故m＝2，选D．
11．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型客车不多于A型客车7辆．则租金最少为 ( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
【答案】C
【解析】：
设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则约束条件为目标函数为z＝1 600x＋2 400y.
12．设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为( )
A．－3 B．－6
C．3 D．6
【答案】B
【解析】：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示：
由得A(k，k)，易知目标函数z＝x＋y在点A处取最大值，则12＝k＋k，故k＝6，所以B(－12,6)，又目标函数z＝x＋y在点B处取最小值，∴z的最小值为－6，故选B.
二、填空题
13．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．
【答案】(1，＋∞)
【解析】：∵点(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5＞0，即m＞1.
14．已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.
【答案】5
15．已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
【答案】
【解析】：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率．因点D(2,3)与B(8,1)连线的斜率为－且C的坐标为(2，－2)，
故由图知z＝的取值范围为
]
16．若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________.
【答案】[－2,2]
三、解答题
17．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2) (－18,14)
故a的取值范围是(－18,14)．
18．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围.
【答案】(1) 最大值为1，最小值为－2.
(2) (－4,2)．
【解析】： (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，
过A(3,4)取最小值－2，
过C(1,0)取最大值1，
所以z的最大值为1，
最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
解得－4
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