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4.5解三角形考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题掌握2017山东,9;2017浙江,14;2017天津,15;2017北京,15;2016课标全国,13;2016天津,3;2015天津,13选择题填空题2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题掌握2017课标全国,17;2017课标全国,17;2017江苏,18;2016课标全国,8;2016山东,16;2016浙江,16;2015湖北,13解答题分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.五年高考考点一正弦定理和余弦定理1.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是() A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案;4.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案5.(2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解析(1)在ABC中,因为ab,所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A=.所以,b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及ab,则B=() A.B.C.D.答案A8.(2013天津,6,5分)在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,则sinBAC=()A.B.C.D.答案C9.(2013湖南,3,5分)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()A.B.C.D.答案D10.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.答案811.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.答案12.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案113.(2015福建,12,4分)若锐角ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案714.(2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案215.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.答案-16.(2014福建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于.答案217.(2013安徽,12,5分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案18.(2013浙江,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC=.答案19.(2014辽宁,17,12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由=2得cacos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=.因a=bc,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.20.(2013山东,17,12分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理得sin A=.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A=.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.21.(2013重庆,20,12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(1)求C;(2)设cos Acos B=,=,求tan 的值.解析(1)因为a2+b2+ab=c2,由余弦定理有cos C=-,故C=.(2)由题意得=,因此(tan sin A-cos A)(tan sin B-cos B)=,tan2sin Asin B-tan (sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,tan2sin Asin B-tan sin(A+B)+cos Acos B=.因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.由得tan2-5tan +4=0,解得tan =1或tan =4.考点二正、余弦定理的应用1.(2016课标全国,8,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A.B.C.-D.-答案C2.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.3.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24答案A7.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案1008.(2013福建,13,4分)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.答案9.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=30,从而sinMAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=40.设EGG1=,ENG=,则sin =sin=cosKGG1=.因为,所以cos =-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin =.因为0,所以cos =.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =+=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG交EG的延长线于Q2,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)10.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=.又因为0B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因为0A,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)11.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.12.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.13.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面积为absin C=.14.(2015江苏,15,14分)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长;(2)求sin 2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+9-223=7,所以BC=.(2)由正弦定理知,=,所以sin C=sin A=.因为ABBC,所以C为锐角,则cos C=.因此sin 2C=2sin Ccos C=2=.15.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.16.(2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,当且仅当a=c时等号成立.cos B的最小值为.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=() A.2B.3C.3D.4答案B2.(2017安徽合肥一模,6)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则ABC的外接圆面积为() A.4B.8C.9D.36答案C3.(人教A必5,一,1-1B,2,变式)在ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于()A.1B.C.2D.4答案C4.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则=.答案15.(2017江西抚州7校联考,15)在ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD=.答案考点二正、余弦定理的应用6.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则ABC的面积为()A.B.C.D.答案B7.(2018四川泸州一诊,7)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30,行驶300 m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45,则此山的高CD=()A.150 mB.75 mC.150 mD.300 m答案C8.(2016福建厦门一中期中,5)如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30和45,则A点离地面的高AB等于()A.10 mB.5 mC.5(-1)mD.5(+1)m答案D9.(2017河南天一大联考(一),14)在ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则ABC的面积为.答案20或24B组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2017安徽江南十校3月联考,9)设ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若ABC的三个内角大小满足ABC=345,则的值为() A.B.C.D.答案D2.(2017湖北武昌一模,12)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是()A.4B.3C.8D.6答案C3.(2016河南开封四模,9)在ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则+的最大值是()A.2B.C.D.4答案B二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018吉林长春一模,15)在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=sin Acos C,且a=2,ABC面积的最大值为.答案35.(2018河北邯郸临漳一中月考,16)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式,设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为.答案6.(2017山西四校第一次联考,15)已知ABC是斜三角形,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin A=acos C,c=,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,则ABC的面积为.答案三、解答题(共10分)7.(2018湖北荆州一模,17)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=.(1)若C=,ABC的面积为,求c的值;(2)若B=,求2c-a的取值范围.解析(1)由三角形的面积公式,得absin C=.因为C=,b=,所以a=2.所以c=.(2)由正弦定理,得=2,故a=2sin A,c=2sin C.因为B=,所以a=2sin=cos C+sin C.于是2c-a=3sin C-cos C=2sin.因为C,所以C-,所以sin,故2c-a的取值范围为(-,2).C组20162018年模拟方法题组方法1解三角形的常见题型及求解方法1.(2017广东海珠调研,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=() A.B.C.D.答案A2.(2018湖南永州二模,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为.答案3.(2017河北石家庄二中3月模拟,16)已知在ABC中,角C为直角,D是边BC上一点,M是AD上一点,且CD=1,DBM=DMB=CAB,则MA=.答案2方法2利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2018江西南城一中期中,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则这个三角形必含有()A.90的内角B.60的内角C.45的内角D.30的内角答案B5.(2016河南郑州质检,5)在ABC中,若sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案B6.(2017宁夏育才中学月考,14)在ABC中,若=,则ABC的形状一定是.答案等腰三角形或直角三角形方法3正、余弦定理的实际应用策略7.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45,B在塔底D的南偏东60处,在塔顶C处测得B的俯角为30,AB间距84米,则塔高为()A.24米B.12 米C.12 米D.36米答案C8.(2017山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛A,B,C,测得BAC=135,AB=6 km,AC=3 km,若在连接B,C两岛的线段上建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为()A.3 kmB. km C. kmD.3 km答案B9.(2016河北邢台三模,17)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30,俯角为30的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60,俯角为60的C处.(1)求船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?解析(1)在RtPAB中,APB=60,PA=1,AB=.在RtPAC中,APC=30,AC=.在ACB中,CAB=30+60=90,BC=.则船的航行速度为=2(千米/时).(2)在ACD中,DAC=90-60=30,sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=,sinCDA=sin(ACB-30)=sinACBcos 30-cosACBsin 30=-=.由正弦定理得=.AD=.故此时船距岛A千米.
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