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专题05 数形结合法方法探究数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：（1）在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.（2）借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.（3）处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.（4）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.（5）线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.（6）数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.（7）解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.（8）立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法.经典示例【例1】（集合中的数形结合）已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A3 B2C1 D0【答案】B【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题.【例2】（函数中的数形结合）对任意实数a，b定义运算“”：,设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)【答案】D【解析】由新定义可得，即.其图象如图所示，所以由恰有三个零点可得，1k2，所以2k1.故选D.【备考警示】一般情况下，这种问题常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题【例3】（线性规划中的数形结合）不等式组表示的平面区域的面积为 .【答案】16【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为.【备考警示】对于线性规划中的区域面积问题，正确地画出平面区域的面积是正确求解的关键.【例4】（向量中的数形结合）等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为ABCD【答案】A【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.【备考警示】涉及向量的坐标或几何意义时常通过画图进行解决反而更快捷.【例5】（解析几何中的数形结合）已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN=60，则C的离心率为_【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，而，所以，点到直线的距离，在中，代入计算得，即，由得，所以【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是；双曲线的顶点到渐近线的距离是.【备考警示】对于解析几何问题，常需要边读题边画图，找出基本量之间的基本关系才可以找准突破口.拓展变式1 函数f(x)=2xlg(x1) 2的零点有A0个B1个C2个D3个【答案】B解法二：在同一坐标系中作出h(x)=22x和g(x)=lg(x1)的图象，如图所示，由图象可知h(x)=22x和g(x)=lg(x1)有且只有一个交点，即f(x)=2xlg(x1)2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点2不等式组表示的平面区域的面积为 .【答案】16【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为.3已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD【答案】B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选B【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决终极押题一、选择题1已知集合，则A BC D【答案】B 【解析】依题意得，所以，故选B.2已知复数满足，则复数的虚部为A BC D【答案】C 【解析】依题意得，所以复数的虚部为，故选C.3如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为ABCD【答案】B4已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则双曲线的离心率为A BC D3【答案】A 【解析】依题意得，圆的圆心坐标为，代入双曲线的渐近线中，得，即，所以，故选A.5算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“诵课倍增”就是其中一首：有个学生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，问君每日读多少？某老师据此编写了一道数学题目：一本书共有页，一位同学天读完，所读页数逐日增加一倍，问这位同学第天所读的页数为ABCD【答案】B 6已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A BC D【答案】D【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为，高为4的圆锥与底面为直角边长为3的等腰直角三角形，高为4的三棱锥组成的组合体，所以圆锥的母线长为5，如图，在三棱锥中，侧棱垂直于底面，所以该几何体的表面积为+=，故选D.7函数在区间上的图象大致为【答案】B 8已知，满足约束条件，则目标函数的最大值为AB4CD6【答案】C【解析】由题画出可行域如图所示，可知直线过点时，目标函数取得最大值，即，故选C9执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.625，则空白判断框内应填的条件为A1 B0.5C0.2 D0.1 【答案】C执行第3次，=，否，=，因为=不是输出结果，故不满足条件，循环，执行第4次，=，是，=，因为=1.625是输出结果，所以结束循环，故应选C.10在直三棱柱中，侧棱长为，在底面中，则此直三棱柱的外接球的表面积为A B C D【答案】C 【解析】设底面的外接圆半径为，由正弦定理得，所以，所以外接球半径，所以直三棱柱的外接球的表面积为.故选C.【思路点晴】几何体底面常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其他不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.若长方体的长、宽、高分别为，则其体对角线长为，长方体的外接球球心是其体对角线的中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别作这个面的垂线，交点即为球心.若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且棱长分别为，则其外接球半径.11已知椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是A B C D【答案】A 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式.建立关于的方程或不等式时，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等12已知关于x的方程有且仅有2个实数根，则实数m的取值范围为ABCD【答案】D 【解析】依题意得，即，故问题转化为函数与的图象有两个交点.令，则，故当时，函数单调递减，当和时，函数单调递增，作出函数的大致图象如图（1）所示，进而得到函数的大致图象如图（2）所示，又函数的图象恒过点，当函数的图象与曲线相切时：设过第一、二、三象限的切线的切点为，则易求得该切线方程为，即，将代入，解得，故切线斜率为1，切线方程为，此时切线方程正好经过(如图（2）中虚线位置所示)；由对称性可知，过第一、二、四象限的切线的斜率为，所以或，解得或，故选D.二、填空题13已知函数，若，则_. 【答案】10 【解析】由，得，解得，又由，所以.14设，向量，且，则_【答案】 【解析】由题意得，所以.【名师点晴】本题考查向量的基本运算，涉及方程思想、数形结合思想和转化与化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等难题.15已知圆：，点为圆：上且不在直线上的任意一点，则的面积最大值为_【答案】16已知锐角三角形的外接圆半径为，且，则_.【答案】【解析】因为（为锐角三角形的外接圆半径），所以因为为锐角，所以，于是，所以，故选D你用了几分钟？ 有哪些问题？
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