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课时分层作业(八)生活中的优化问题举例(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A32,16B30,15C40,20D36,18A要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L2x(x0)，则L2.令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(米)，可使L最短2将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对B设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小3要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为() 【导学号：31062075】A cm B cmC cm D cmD设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm.其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x时，V0；当x20时，V0.所以当x时，V取最大值4内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为()A和R BR和RCR和RD以上都不对B设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2.令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R， R5某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100B150C200D300D由题意，得总成本函数为C(x)20 000100x，总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大二、填空题6某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台. 【导学号：31062076】解析设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点答案67电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_解析由题设知yx239x40，令y0，解得x40或x1，故函数yx3x240x(x0)在40，)上递增，在(0,40上递减当x40时，y取得最小值由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.答案408用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为_时容器的容积最大解析设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x0.5)m，高为14.84x4(x0.5)(3.22x)m.由3.22x0及x0，得0x1.6.设容器容积为y，则有yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)，y6x24.4x1.6.由y0及0x1.6，解得x1.在定义域(0,1.6)内，只有x1使y0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)因此当x1时，y取最大值，且ymax22.21.61.8(m3)，这时高为1.2 m.答案1.2 m三、解答题9一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 【导学号：31062077】解设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知pkv3，因为v10，p6，所以k0.006.于是有p0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v396)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.当v20时，q0；当v20时，q0，所以当v20时，q取得最小值即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少10某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2a5)的税收设每件产品的售价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值解(1)设日销售量为，则10，k10e40，则日售量为件则日利润L(x)(x30a)10e40；答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)10e40.(2)L(x)10e40.当2a4时，33a3135，当35x41时，L(x)0.当x35时，L(x)取最大值为10(5a)e5；当4a5时，35a3136，令L(x)0，得xa31，易知当xa31时，L(x)取最大值为10e9a.综合上得L(x)max.答：当2a4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5a)e5；当4a5时，每件产品的日售价为a31元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为10e9a.能力提升练1如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.3 B.3C.3 D.3A设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3.则Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.2用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图142)，当容器的体积最大时，该容器的高为()图142A8 cmB9 cmC10 cmD12 cmC设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24)，因为V(x)12x2552x4 320，由12x2552x4 3200，得x10或x36(舍)，因为当0x0，当10x24时，V(x)0，所以当x10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，所以容器高x10 cm时，容器体积V(x)最大3海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_. 【导学号：31062078】解析由题意设燃料费y与航速v间满足yav3(0v30)，又25a103，a.设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，则yav340020v2.由y40v0，得v2030.当0v20时，y0；当20v0，当v20时，y最小答案20 n mile/h4如图143，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_图143解析设CDx，则点C的坐标为，点B的坐标为，矩形ABCD的面积Sf(x)xx，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x时，f(x)0，f(x)单调递增，x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x时，f(x)取最大值.答案5如图144所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 【导学号：31062079】图144解设C点距D点x km，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值，此时AC50x20(km)故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省
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