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3.3.1 几何概型课时作业A组学业水平达标1如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为()A.B.C. D.解析：如图，当AA的长度等于半径长度时，AOA，由圆的对称性及几何概型得P.故选C.答案：C2如图所示，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为()A. B.C. D.解析：所求概率P.故选D.答案：D3已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A. B.C. D.解析：总的时间段长为10 min，在车站停1 min，P.答案：A4已知点P，Q为圆C：x2y225上的任意两点，且|PQ|6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为()A. B.C. D.解析：PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为，故选B.答案：B5在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1 (x)1”发生的概率为()A. B.C. D. 解析：由1 (x)1得，log(x)，x2,0x，所以由几何概型概率的计算公式得，P，故选A.答案：A6点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 的长度小于1的概率为_解析：如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.答案：7广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有_分钟广告解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为，则看到广告的概率约为，故606.答案：68已知线段AC16 cm，先截取AB4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为_解析：依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12x)cm，由4x(12x)128得x212x320,4x8，因此所求的概率等于.答案：9一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型(1)P；(2)P；(3)P.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使MABCD的体积小于的概率解析：设点M到面ABCD的距离为h，则VMABCDS底ABCDh，即h.所以只要点M到面ABCD的距离小于时，即满足条件所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以面ABCD为底，高为的长方体，其体积为.又因为正方体体积为1，所以使四棱锥MABCD的体积小于的概率为P.B组应考能力提升1如图所示，在一个边长为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A. B.C. D.解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式S矩形ab，S梯形(aa)bab，所以所投的点落在梯形内部的概率为.答案：C2如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于()A. B.C. D. 解析：由已知得B(1,0)，C(1,2)，D(2,2)，F(0,1)，则矩形ABCD的面积为326，阴影部分的面积为31，故该点取自阴影部分的概率等于.答案：B3.如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC和BOC都不小于30的概率是_解析：将圆心角为90的扇形等分成三部分：当射线OC位于中间一部分时，使得AOC和BOC都不小于30，使得AOC和BOC都不小于30的概率为：P中间部分的圆心角大小整个扇形的圆心角的大小3090，故使得AOC和BOC都不小于30的概率为.答案：4如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm，4 cm，2 cm.某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D1616256(cm2)设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为dA6236(cm2)；事件B所占区域面积为dB422216412(cm2)；事件C所占区域面积为dCDdA(25636)(cm2)由几何概型的概率公式，得(1)P(A)，即投中大圆内的概率为.(2)P(B)，即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为.(3)P(C)1，即投中大圆之外的概率为1. 5.设关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0,3内任取的一个数，b是从区间0,2内任取的一个数，求上述方程有实根的概率解析：设事件A为“方程x22axb20有实根”，当a0，b0时，此方程有实根的条件是(2a)24b20，即ab.(1)基本事件共有12个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A).(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，而构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，即如图所示的阴影部分，所以P(A).
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