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第十七讲不等式选讲1.(2018课标全国,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.2.已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.3.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.4.已知函数f(x)=|x-a|+|2x-a|(aR).(1)若f(1)11,求a的取值范围;(2)若aR,f(x)x2-x-3恒成立,求x的取值范围.5.设函数f(x)=|x+m|-|x-1-m|.(1)当m=1时,求不等式f(x)12的解集;(2)若对任意的m0,1,不等式f(x)n的解集为空集,求实数n的取值范围.6.(2018广东广州调研)已知函数f(x)=|x+a|.(1)当a=1时,求不等式f(x)|2x+1|-1的解集;(2)若函数g(x)=f(x)-|x+3|的值域为A,且-2,1A,求a的取值范围.答案精解精析1.解析(1)f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x1时,等价于a-1+a3,解得a2,所以a的取值范围为2,+).3.解析(1)f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-2x-1,所以-1x-12;当-12x12时,f(x)2恒成立;当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1,所以12x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.4.解析(1)f(1)=|1-a|+|2-a|=3-2a,a1,1,1a2,2a-3,a2,当a1时,3-2a-4,-4a1;当1a2时,111恒成立;当a2时,2a-311,解得a7,2a7.综上,a的取值范围是(-4,7).(2)aR,f(x)x2-x-3恒成立,又f(x)=|x-a|+|2x-a|x-a-(2x-a)|=|x|,|x|x2-x-3,xx2-x-3,x0或-xx2-x-3,x0,解得0x3或-3x0,x的取值范围为-3,3.5.解析(1)当m=1时,f(x)12等价于|x+1|-|x|12.当x-1时,不等式化为-x-1+x12,无解;当-1x0时,不等式化为x+1+x12,解得-14x2,实数n的取值范围为(2,+).6.解析(1)当a=1时,f(x)=|x+1|,当x-1时,原不等式可化为-x-1-2x-2,解得x-1;当-1x-12时,原不等式可化为x+1-2x-2,解得x-1,此时原不等式无解;当x-12时,原不等式可化为x+12x,解得x1.综上可知,原不等式的解集为x|x-1或x1.(2)解法一:当a=3时,g(x)=|x+3|-|x+3|=0,所以函数g(x)的值域A=0,不符合题意.当a3时,g(x)=3-a,x-3,-2x-a-3,-3x3时,g(x)=3-a,x-a,2x+a+3,-ax-3,a-3,x-3,所以函数g(x)的值域A=3-a,a-3,因为-2,1A,所以3-a-2,a-31,解得a5.综上可知,a的取值范围是(-,15,+).解法二:因为|x+a|-|x+3|(x+a)-(x+3)|=|a-3|,所以g(x)=f(x)-|x+3|=|x+a|-|x+3|-|a-3|,|a-3|.所以函数g(x)的值域A=-|a-3|,|a-3|.因为-2,1A,所以-|a-3|-2,|a-3|1,解得a1或a5.所以a的取值范围是(-,15,+).
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