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第四章数列考点测试28数列的概念与简单表示法一、基础小题1已知数列an的通项公式an(nN*)，则是这个数列的()A第8项 B第9项 C第10项 D第12项答案C解析由题意知，nN*，解得n10，即是这个数列的第10项故选C2在数列an中，a12，且(n1)annan1，则a3的值为()A5 B6 C7 D8答案B解析由(n1)annan1得，所以数列为常数列，则2，即an2n，所以a3236故选B3设an2n229n3，则数列an的最大项是()A107 B108 C D109答案B解析因为an2n229n322，nN*，所以当n7时，an取得最大值1084数列an中，a11，对于所有的n2，nN都有a1a2a3ann2，则a3a5()A B C D答案A解析解法一：令n2,3,4,5，分别求出a3，a5，a3a5故选A解法二：当n2时，a1a2a3ann2当n3时，a1a2a3an1(n1)2两式相除得an2，a3，a5，a3a5故选A5若数列an满足a12，an1，则a2018()A2 B1 C2 D答案B解析数列an满足a12，an1(nN*)，a21，a3，a42，可知此数列有周期性，周期T3，即an3an，则a2018a67232a21故选B6把1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)则第7个三角形数是()A27 B28 C29 D30答案B解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即anan1n(n2)所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a7a67a567156728故选B7已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN*，则an()A2n1 B2n C2n1 D2n2答案A解析因为Sn2an4，所以n2时，有Sn12an14，两式相减可得SnSn12an2an1，即an2an2an1，整理得an2an1，即2(n2)因为S1a12a14，所以a14，所以an2n1故选A8在数列an中，a12，an1anln 1，则an()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n答案A解析解法一：由已知得an1anln 1ln ，而an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，n2，所以anln ln ln 2ln 2ln n2，n2当n1时，a12ln 12故选A解法二：由anan1ln 1an1ln an1ln nln (n1)(n2)，可知anln nan1ln (n1)(n2)令bnanln n，则数列bn是以b1a1ln 12为首项的常数列，故bn2，所以2anln n，所以an2ln n故选A9已知数列an的通项公式为annn，则数列an中的最大项为()A B C D答案A解析解法一(作差比较法)：an1an(n1)n1nnn，当n0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an所以a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322故选A解法二(作商比较法)：1，令1，解得n2；令1，解得n2；令2又an0，故a1a4a5an，所以数列an中的最大项为a2或a3，且a2a322故选A10已知数列an的通项公式为an2n2tn1，若an是单调递增数列，则实数t的取值范围是()A(6，) B(，6)C(，3) D(3，)答案A解析解法一：因为an是单调递增数列，所以对于任意的nN*，都有an1an，即2(n1)2t(n1)12n2tn1，化简得t4n2，所以t4n2对于任意的nN*都成立，因为4n26，所以t6故选A解法二：设f(n)2n2tn1，其图象的对称轴为n，要使an是递增数列，则6故选A11已知Sn是数列an的前n项和，且有Snn21，则数列an的通项an_答案解析当n1时，a1S1112，当n2时，anSnSn1(n21)(n1)212n1此时对于n1不成立，故an12对于数列an，定义数列bn满足：bnan1an(nN*)，且bn1bn1(nN*)，a31，a41，则a1_答案8解析由bn1bn1知数列bn是公差为1的等差数列，又b3a4a32，所以b14，b23，b1b2(a2a1)(a3a2)a3a17，解得a18二、高考小题13(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则S6_答案63解析根据Sn2an1，可得Sn12an11，两式相减得an12an12an，即an12an，当n1时，S1a12a11，解得a11，所以数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以S66314(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_答案解析由an1，得an1，a82，a71，a611，a512，an是以3为周期的数列，a1a715(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_答案1121解析解法一：an12Sn1，a22S11，即S2a12a11，又S24，4a12a11，解得a11又an1Sn1Sn，Sn1Sn2Sn1，即Sn13Sn1，由S24，可求出S313，S440，S5121解法二：由an12Sn1，得a22S11，即S2a12a11，又S24，4a12a11，解得a11又an1Sn1Sn，Sn1Sn2Sn1，即Sn13Sn1，则Sn13，又S1，是首项为，公比为3的等比数列，Sn3n1，即Sn，S512116(2015江苏高考)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_答案解析由已知得，a2a111，a3a221，a4a331，anan1n11(n2)，则有ana1123n1(n1)(n2)，因为a11，所以an123n(n2)，即an(n2)，又当n1时，a11也适合上式，故an(nN*)，所以2，从而22222三、模拟小题17(2018湖南六校联考)已知数列an满足：m，nN*，都有anamanm，且a1，那么a5()A B C D答案A解析数列an满足：m，nN*，都有anamanm，且a1，a2a1a1，a3a1a2那么a5a3a2故选A18(2018南昌模拟)在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是()A B C D答案C解析由已知得a21(1)22，2a32(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，故选C19(2019黄冈质检)已知数列xn满足xn2|xn1xn|(nN*)，若x11，x2a(a1，a0)，且xn3xn对于任意的正整数n均成立，则数列xn的前2020项和S2020()A673 B674 C1345 D1347答案D解析x11，x2a(a1，a0)，x3|x2x1|a1|1a，x1x2x31a(1a)2，又xn3xn对于任意的正整数n均成立，数列xn的周期为3，数列xn的前2020项和S2020S67331673211347故选D20(2018河南郑州一中考前冲刺)数列an满足：a11，且对任意的m，nN*，都有amnamanmn，则()A B C D答案D解析a11，且对任意的m，nN*都有amnamanmn，an1ann1，即an1ann1，用累加法可得ana1，2，21，故选D21(2018福建晋江季延中学月考)已知数列an满足a12a23a3nann1(nN*)，则数列an的通项公式为_答案an解析已知a12a23a3nann1，将n1代入，得a12；当n2时，将n1代入得a12a23a3(n1)an1n，两式相减得nan(n1)n1，an，an22(2018北京海淀区模拟)数列an的通项为an(nN*)，若a5是an中的最大值，则a的取值范围是_答案9,12解析当n4时，an2n1单调递增，因此n4时取最大值，a424115当n5时，ann2(a1)nn2a5是an中的最大值，解得9a12a的取值范围是9,12一、高考大题1(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意得a2，a3(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an2(2015浙江高考)已知数列an满足a1且an1ana(nN*)(1)证明：12(nN*)；(2)设数列a的前n项和为Sn，证明：0由0an，得(1,2，即12(2)由题意得aanan1，所以，Sna1an1由和12，得12，所以n2n，因此an1(nN*)由得a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40(2)an11对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，56，10a84(2018湖南联考)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan14Sn1(nN*)(1)证明：an2an4；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：anan14Sn1，an1an24Sn11，an1(an2an)4an1又an0，an2an4(2)由anan14Sn1，a11，得a23由an2an4知数列a2n和a2n1都是公差为4的等差数列，a2n34(n1)2(2n)1，a2n114(n1)2(2n1)1，an2n1
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