2018-2019学年高二数学下学期期中试题理A.doc

2018-2019学年高二数学下学期期中试题理A 考试时间120分钟 试卷满分120分一选择题（共12小题）1（）A B C D2复数，其中是虚数单位，则复数的虚部为（）A B C D3下列求导计算正确的是（）A BC D4记为虚数集，设则下列类比所得的结论正确的是（）A由，类比得 B由，类比得C由，类比得D由，类比得5下列表述正确的是（）归纳推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；分析法是一种间接证明法；若，且，则的最小值是3A B C D6设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A B C D 7某个班级组织元旦晚会，一共准备了六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A72 B84 C96 D1208用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（）A BC D9的展开式中的系数是（）A-1288 B1280 C1288 D128010某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）A B C D11函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A BC D12若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（）A B C D二填空题（共4小题）13的展开式中，常数项为 14将数列按“第组有个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），则第100组中的第一个数是 15定积分等于 16已知函数，若存在，使得，则实数的值为 三解答题（共6小题）17（10分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）（1）设复数，求；（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围18（12分）（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：，不能为同一等差数列中的三项19（12分）已知数列满足：，且（1）求的值，并猜想的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想20（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）已知，（其中是自然对数的底数），求证：21（12分）（1）设展开式中的各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，若，求展开式中的项的系数（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？22（12分）设函数（）求函数单调递减区间；（）若函数的极小值不小于，求实数的取值范围参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（3i）2（）A86iB8+6iC86iD8+6i【解答】解：（3i）296i+i286i故选：C2复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A1B2CiD2i【解答】解：，复数z的虚部为1故选：A3下列求导计算正确的是（）ABCD（xsinx）cosx【解答】解：A选项应为，C选项应为2xln2，D选项应为sinx+xcosx故选：B4记I为虚数集，设a，bR，x，yI则下列类比所得的结论正确的是（）A由abR，类比得xyIB由a20，类比得x20C由（a+b）2a2+2ab+b2，类比得（x+y）2x2+2xy+y2D由a+b0ab，类比得x+y0xy【解答】解：A：由abR，不能类比得xyI，如xyi，则xy1I，故A不正确；B：由a20，不能类比得x20如xi，则x20，故B不正确；C：由（a+b）2a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2x2+2xy+y2故C正确；D：若x，yI，当x1+i，yi时，x+y0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小故D错误故4个结论中，C是正确的故选：C5下列表述正确的是（）归纳推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；分析法是一种间接证明法；若zC，且|z+22i|1，则|z22i|的最小值是3ABCD【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故错误；分析法是一种直接证明法，故错误；|z+22i|1表示复平面上的点到（2，2）的距离为1的圆，|z22i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2（2）|13，故正确故选：D6设曲线y在点（1，0）处的切线与直线xay+10垂直，则a（）A2B2 CD【解答】解：由题意得，（x0），在点（1，0）处的切线与直线xay+10垂直，a，解得a，故选：C7某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A72B84C96D120【解答】解：按照第一个节目分两类：排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有AA48种；排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种，其中A排最后一个节目的有AA12，故共有481236种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+3684种故选：B8用数学归纳法证明“42n1+3n+1（nN*）能被13整除”的第二步中，当nk+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A16（42k1+3k+1）133k+1B442k+93kC（42k1+3k+1）+1542k1+23k+1D3（42k1+3k+1）1342k1【解答】解：假设nk时命题成立即：42k1+3k+1被13整除当nk+1时，42k+1+3k+21642k1+33k+116（42k1+3k+1）133k+1故选：A9（2x2x+1）8的展开式中x5的系数是（）A-1288B1280C1288D1280【解答】解：x5可能是（x）5，（2x2）（x）3，（2x2）2（x），（x）5表示在8个式子中5个选（x），其余3个选出1，系数为（1）51356； （2x2）（x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（x），其余选1，系数为2（1）314560；（2x2）2（x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（x），其余选1，系数为22（1）15672，所以将（2x2x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是565606721288故选：A10某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）ABCD【解答】解：由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有，故选：A11函数f（x）是定义在区间（0，+）上的可导函数，其导函数为f（x），且满足f（x）+f（x）0，则不等式的解集为（）Ax|xxxBx|xxxCx|xxx0Dx|xxxxx【解答】解：根据题意，设g（x）x2f（x），（x0），则导数g（x）（x2）f（x）+x2f（x）x2f（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+）上，满足f（x）+f（x）0，则有x2f（x）+2xf（x）0，则有g（x）0，即函数g（x）在区间（0，+）上为增函数；（x+xx）2fx+xx）32f（3）g（xx）g（3），则有0x+xx3，解可得：xxxxx；即不等式的解集为x|xxxxx；故选：D12若函数f（x）ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（）AaBaCD【解答】解：f（x）3ax2+4x+1，x（1，2）a0时，f（x）4x+10，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去a0时，1612a由0，解得，此时f（x）0，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去由0，解得a（a0），由f（x）0，解得x1，x2当时，x10，x20，因此f（x）0，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去当a0时，x10，x20，函数f（x）ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，必然有f（x1）0，12，a0解得：a综上可得：a故选：C二填空题（共4小题）13解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1（2）rx63r，令63r0，求得r2，可得常数项460，14将数列3n1按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），则第100组中的第一个数是34950【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+994950个数，则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950故答案为：3495015定积分（x）dx等于【解答】解：（x）dxdxxdxdxdx，由y，则函数y表示以（1，0）为圆心，半径r1的圆的，dx，dx，故答案为：16已知函数f（x）（x+a）2+（ex+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为【解答】解：函数f（x）（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（a，）之间距离的平方，动点M在函数yex的图象上，N在直线yx的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由yex得，yex，解得x1，所以曲线上点M（1，）到直线yx的距离最小，最小距离d，则f（x），根据题意，要使f（x0），则f（x0），此时N恰好为垂足，由KMNe，解得a故答案为：三解答题（共6小题）17已知复数z1+mi（i是虚数单位，mR），且为纯虚数（是z的共轭复数）（1）设复数z1，求|z1|；（2）设复数z2，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围【解答】解：z1+mi，1mi（3+i）（1mi）（3+i）（3+m）+（13m）i又（3+i）为纯虚数，解得m3z13i（1）z1i，|z1|；（2）z13i，z2，又复数z2所对应的点在第一象限，解得：a18【解答】证明（1）要证明2；只要证2，只要证（）2（2）2，只要证13+213+2，只要证即证 4240 而 4240 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足mdndnm得：nm（nm） 两边平方得：3n2+5m22mn2（nm）2左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数所以，假设不正确故，不能为同一等差数列中的三项19已知数列an满足：nan+1（n+2）（an1），且a16（1）求a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想解：（1）由递推公式可得a215，a328，a445，可猜想an（n+1）（2n+1）2n2+3n+1（2）下面用数学归纳法证明猜想成立当n1时，猜想显然成立；假设nk（k1，kN+）时猜想成立，即，则nk+1时，由kak+1（k+2）（ak1）可得（k+2）（2k+3）2（k+1）2+3（k+1）+1，即：当nk+1时，猜想也成立，由可知，当nN+时，an2n2+3n+120已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、bR，abe（其中e是自然对数的底数），求证：baab【解答】解：（1），当xe时，函数在上是单调递减当0xe时，函数在（0，e）上是单调递增f（x）的增区间是（0，e），减区间是（2）证明：ba0，ab0要证：baab，只需证：alnbblna只需证（abe）由（1）得函数在上是单调递减当abe时，有，即得证21（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B272，求展开式中的x项的系数（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？【解答】解：（1）二项式展开式中的各项系数之和为A（3+1）n4n，各项的二项式系数之和为B2n，若A+B4n+2n272，2n16，求得n4，故展开式中的x项为108x，故展开式中的x项的系数为108（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，即+1+n+79，求得n12，故 的展开的通项公式为Tr+122r12xr，令，求得r，r为整数，r10，故展开式系数最大的项为第11项，即 T1128x1016896x1022设函数（）求函数单调递减区间；（）若函数G（x）f（x）+g（x）（a0）的极小值不小于，求实数a的取值范围【解答】解：（）由题可知，所以由F（x）0，解得或综上所述，F（x）的递减区间为和（）由题可知，所以（1）当a0时，则G（x）在（，1）为增函数，在（1，+）为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；（2）当a0时，由G（x）0得，由于a0，所以，因此函数G（x）在（，1）为增函数，在为减函数，在为增函数，所以G（x）极小值即令，则上述不等式可化为上述不等式设，则，故h（t）在（1，+）为增函数又h（2）0，所以不等式的解为t2，因此，所以，解得1a0综上所述a1，0）xx下xx高二期中数学考试试卷参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（3i）2（）A86iB8+6iC86iD8+6i【解答】解：（3i）296i+i286i故选：C2复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A1B2CiD2i【解答】解：，复数z的虚部为1故选：A3下列求导计算正确的是（）ABCD（xsinx）cosx【解答】解：A选项应为，C选项应为2xln2，D选项应为sinx+xcosx故选：B4记I为虚数集，设a，bR，x，yI则下列类比所得的结论正确的是（）A由abR，类比得xyIB由a20，类比得x20C由（a+b）2a2+2ab+b2，类比得（x+y）2x2+2xy+y2D由a+b0ab，类比得x+y0xy【解答】解：A：由abR，不能类比得xyI，如xyi，则xy1I，故A不正确；B：由a20，不能类比得x20如xi，则x20，故B不正确；C：由（a+b）2a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2x2+2xy+y2故C正确；D：若x，yI，当x1+i，yi时，x+y0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小故D错误故4个结论中，C是正确的故选：C5下列表述正确的是（）归纳推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；分析法是一种间接证明法；若zC，且|z+22i|1，则|z22i|的最小值是3ABCD【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故错误；分析法是一种直接证明法，故错误；|z+22i|1表示复平面上的点到（2，2）的距离为1的圆，|z22i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2（2）|13，故正确故选：D6设曲线y在点（1，0）处的切线与直线xay+10垂直，则a（）A2B2 CD【解答】解：由题意得，（x0），在点（1，0）处的切线与直线xay+10垂直，a，解得a，故选：C7某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A72B84C96D120【解答】解：按照第一个节目分两类：排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有AA48种；排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种，其中A排最后一个节目的有AA12，故共有481236种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+3684种故选：B8用数学归纳法证明“42n1+3n+1（nN*）能被13整除”的第二步中，当nk+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A16（42k1+3k+1）133k+1B442k+93kC（42k1+3k+1）+1542k1+23k+1D3（42k1+3k+1）1342k1【解答】解：假设nk时命题成立即：42k1+3k+1被13整除当nk+1时，42k+1+3k+21642k1+33k+116（42k1+3k+1）133k+1故选：A9（2x2x+1）8的展开式中x5的系数是（）A-1288B1280C1288D1280【解答】解：x5可能是（x）5，（2x2）（x）3，（2x2）2（x），（x）5表示在8个式子中5个选（x），其余3个选出1，系数为（1）51356； （2x2）（x）3表示在8个式子中1个选2x2，其余7个中3个选（x），其余选1，系数为2（1）314560；（2x2）2（x）表示在8个式子中2个选2x2，其余6个中一个选（x），其余选1，系数为22（1）15672，所以将（2x2x+1）8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是565606721288故选：A10某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）ABCD【解答】解：由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有，故选：A11函数f（x）是定义在区间（0，+）上的可导函数，其导函数为f（x），且满足f（x）+f（x）0，则不等式的解集为（）Ax|xxxBx|xxxCx|xxx0Dx|xxxxx【解答】解：根据题意，设g（x）x2f（x），（x0），则导数g（x）（x2）f（x）+x2f（x）x2f（x）+2xf（x）；函数f（x）在区间（0，+）上，满足f（x）+f（x）0，则有x2f（x）+2xf（x）0，则有g（x）0，即函数g（x）在区间（0，+）上为增函数；（x+xx）2fx+xx）32f（3）g（xx）g（3），则有0x+xx3，解可得：xxxxx；即不等式的解集为x|xxxxx；故选：D12若函数f（x）ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（）AaBaCD【解答】解：f（x）3ax2+4x+1，x（1，2）a0时，f（x）4x+10，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去a0时，1612a由0，解得，此时f（x）0，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去由0，解得a（a0），由f（x）0，解得x1，x2当时，x10，x20，因此f（x）0，函数f（x）在x（1，2）内单调递增，无极值，舍去当a0时，x10，x20，函数f（x）ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，必然有f（x1）0，12，a0解得：a综上可得：a故选：C二填空题（共4小题）13解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1（2）rx63r，令63r0，求得r2，可得常数项460，14将数列3n1按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），则第100组中的第一个数是34950【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+994950个数，则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即34950故答案为：3495015定积分（x）dx等于【解答】解：（x）dxdxxdxdxdx，由y，则函数y表示以（1，0）为圆心，半径r1的圆的，dx，dx，故答案为：16已知函数f（x）（x+a）2+（ex+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为【解答】解：函数f（x）（x+a）2+（ex+）2，函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（a，）之间距离的平方，动点M在函数yex的图象上，N在直线yx的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由yex得，yex，解得x1，所以曲线上点M（1，）到直线yx的距离最小，最小距离d，则f（x），根据题意，要使f（x0），则f（x0），此时N恰好为垂足，由KMNe，解得a故答案为：三解答题（共6小题）17已知复数z1+mi（i是虚数单位，mR），且为纯虚数（是z的共轭复数）（1）设复数z1，求|z1|；（2）设复数z2，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围【解答】解：z1+mi，1mi（3+i）（1mi）（3+i）（3+m）+（13m）i又（3+i）为纯虚数，解得m3z13i（1）z1i，|z1|；（2）z13i，z2，又复数z2所对应的点在第一象限，解得：a18【解答】证明（1）要证明2；只要证2，只要证（）2（2）2，只要证13+213+2，只要证即证 4240 而 4240 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设，为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足mdndnm得：nm（nm） 两边平方得：3n2+5m22mn2（nm）2左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数所以，假设不正确故，不能为同一等差数列中的三项19已知数列an满足：nan+1（n+2）（an1），且a16（1）求a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想解：（1）由递推公式可得a215，a328，a445，可猜想an（n+1）（2n+1）2n2+3n+1（2）下面用数学归纳法证明猜想成立当n1时，猜想显然成立；假设nk（k1，kN+）时猜想成立，即，则nk+1时，由kak+1（k+2）（ak1）可得（k+2）（2k+3）2（k+1）2+3（k+1）+1，即：当nk+1时，猜想也成立，由可知，当nN+时，an2n2+3n+120已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、bR，abe（其中e是自然对数的底数），求证：baab【解答】解：（1），当xe时，函数在上是单调递减当0xe时，函数在（0，e）上是单调递增f（x）的增区间是（0，e），减区间是（2）证明：ba0，ab0要证：baab，只需证：alnbblna只需证（abe）由（1）得函数在上是单调递减当abe时，有，即得证21（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B272，求展开式中的x项的系数（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最大的项？【解答】解：（1）二项式展开式中的各项系数之和为A（3+1）n4n，各项的二项式系数之和为B2n，若A+B4n+2n272，2n16，求得n4，故展开式中的x项为108x，故展开式中的x项的系数为108（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，即+1+n+79，求得n12，故 的展开的通项公式为Tr+122r12xr，令，求得r，r为整数，r10，故展开式系数最大的项为第11项，即 T1128x1016896x1022设函数（）求函数单调递减区间；（）若函数G（x）f（x）+g（x）（a0）的极小值不小于，求实数a的取值范围【解答】解：（）由题可知，所以由F（x）0，解得或综上所述，F（x）的递减区间为和（）由题可知，所以（1）当a0时，则G（x）在（，1）为增函数，在（1，+）为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；（2）当a0时，由G（x）0得，由于a0，所以，因此函数G（x）在（，1）为增函数，在为减函数，在为增函数，所以G（x）极小值即令，则上述不等式可化为上述不等式设，则，故h（t）在（1，+）为增函数又h（2）0，所以不等式的解为t2，因此，所以，解得1a0综上所述a1，0）