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第一章 三角函数测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若角的终边与单位圆的交点坐标是a,-33,则cos2+=()A.-33B.33C.-63D.63解析依题意有sin =-33,于是cos2+=-sin =33.答案B2.若|cos |=cos ,|tan |=-tan ,则2的终边在()A.第一、第三象限B.第二、第四象限C.第一、第三象限或x轴上D.第二、第四象限或x轴上解析由题意知,cos 0,tan 0,所以在x轴正半轴上或在第四象限,故2在第二、第四象限或在x轴上.答案D3.函数y=2sin6-2x(x0,)为增函数的区间是()A.0,3B.12,712C.3,56D.56,解析y=2sin6-2x=-2sin2x-6,原函数的增区间就是y=2sin2x-6的减区间,即2k+22x-62k+32,kZ,k+3xk+56,kZ,令k=0,得选项C正确.答案C4.已知函数f(x)=3sinx-4(01),且f2=0,则函数f(x)的最小正周期为()A.B.2C.4D.8解析由已知得3sin2-4=0,则2-4=k,所以=2k+12(kZ).又因为00,|2的图象过点(0,3),则f(x)的图象()A.关于直线x=3对称B.关于点-6,0对称C.关于直线x=-6对称D.关于点-512,0对称解析由图象可知A=2,又因为图象过点(0,3),所以2sin =3,所以=3,因此f(x)=2sin2x+3,而f-6=0,故f(x)的图象关于点-6,0对称.答案B8.下列关于函数y=tanx+3的说法正确的是()A.在区间-6,56内单调递增B.最小正周期是C.图象关于点4,0成中心对称D.图象关于直线x=6成轴对称解析令k-2x+3k+2,解得k-56x0,|2,若x=6和x=76是函数f(x)=cos(x+)的两个相邻的最值点,将y=f(x)的图象向左平移6个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=g(x)是奇函数B.y=g(x)的图象关于点-2,0对称C.y=g(x)的图象关于直线x=2对称D.y=g(x)的周期为解析由已知得T=276-6=2,所以=1,于是f(x)=cos(x+).又因为cos6+=1,则6+=k,而|0)的图象上相邻的两个最小值点都在抛物线y=-12x2上,则的值等于()A.2B.2C.1D.3解析因为抛物线x2=-2y关于y轴对称,所以函数y=cosx(0)的图象上相邻的两个最小值点只能是(,-1)和(-,-1),于是2=2,解得=2.答案B12.函数f(x)=13x-|sin 2x|在0,54上零点的个数为()A.2B.4C.5D.6解析在同一直角坐标系中分别画出函数y1=13x与y2=|sin 2x|的图象,结合图象可知两个函数的图象在0,54上有5个交点,故原函数有5个零点.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=xcos x+c是奇函数,则f(-)=.解析由已知得f(0)=0,所以c=0,于是f(x)=xcos x,故f(-)=.答案14.函数f(x)=4sin2x+3在-3,6上的最小值等于.解析当x-3,6时,2x+3-3,23,所以当2x+3=-3时,sin2x+3取最小值-32,原函数的最小值等于-23.答案-2315.设f()=2cos3+sin2(2-)+sin2+-32+2cos2(+)+cos(-),则f173=.解析f()=2cos3+sin2(2-)+sin2+-32+2cos2(+)+cos(-)=2cos3+sin2+cos-32+2cos2+cos=2cos3+1-cos2+cos-32+2cos2+cos=2cos3-2-(cos2-cos)2+2cos2+cos=2(cos3-1)-cos(cos-1)2+2cos2+cos=2(cos-1)(cos2+cos+1)-cos(cos-1)2+2cos2+cos=(cos-1)(2cos2+cos+2)2+2cos2+cos=cos -1,f173=cos173-1=cos183-3-1=cos-3-1=12-1=-12.答案-1216.关于下列命题:若,是第一象限角,且,则sin sin ;函数y=sinx-2是偶函数;函数y=sin2x-3的一个对称中心是6,0;函数y=5sin-2x+3在-12,512上是增函数,写出所有正确命题的序号:.解析对于,若,是第一象限角,且,可令=390,=30,则sin =sin ,错;对于,函数y=sinx-2=-cos x,f(-x)=-cos(-x)=f(x),则为偶函数,对;对于,令2x-3=k,解得x=k2+6(kZ),函数y=sin2x-3的对称中心为k2+6,0,当k=0时,即为6,0,对;对于,函数y=5sin-2x+3=-5sin2x-3,令2x-32k+2,2k+32,kZ,则xk+512,k+1112,即为增区间.令2x-32k-2,2k+2,kZ,则xk-12,k+512,即为减区间.在-12,512上即为减函数,错.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)A,B是单位圆O上的点,点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在第二象限,记AOB=,且sin =45.(1)求点B的坐标;(2)求sin(+)+2sin2-2tan(-)的值.解(1)设点B坐标为(x,y),则y=sin =45.因为点B在第二象限,x=cos =-35,所以点B坐标为-35,45.(2)sin(+)+2sin2-2tan(-)=-sin+2cos-2tan=-45-6583=-34.18.(本小题满分12分)已知函数y=3tan2x-4.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的定义域;(3)说明此函数的图象是由y=tan x的图象经过怎样的变换得到的?解(1)函数y=3tan2x-4的最小正周期T=2.(2)由2x-4k+2,kZ,得xk2+38,kZ,所以原函数的定义域为xxk2+38,kZ.(3)把函数y=tan x图象上所有的点向右平移4个单位长度,得函数y=tanx-4的图象,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得函数y=tan2x-4的图象,最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得函数y=3tan2x-4的图象.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x+4+1.(1)用“五点法”作出f(x)在x-8,78上的简图;(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间;(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.解(1)对于函数f(x)=sin2x+4+1,在x-8,78上,2x+40,2,列表:2x+402322x-88385878f(x)12101作图:(2)令2x+4=k+2,求得x=k2+8,可得函数的图象的对称中心为k2+8,0,kZ.令2k-22x+42k+2,求得k-38xk+8,可得函数的增区间为k-38,k+8,kZ.(3)令2x+4=2k+2,求得x=k+8,所以函数f(x)的最大值为2,此时,x=k+8,kZ.20.(本小题满分12分)如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设点B与地面距离是h.(1)求h与间的函数关系式;(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.解(1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为-2,故点B坐标为4.8cos-2,4.8sin-2.h=5.6+4.8sin-2.(2)点A在圆上转动的角速度是30,故t s转过的弧度数为t30.h=5.6+4.8sin30t-2,t0,+).到达最高点时,h=10.4 m.由sin30t-2=1,得30t-2=2,t=30 s.缆车到达最高点时,用的时间最少为30 s.21.导学号68254059(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinx-3(0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.求y=g(x)在区间0,10上零点的个数.解(1)由周期为,得=2.所以f(x)=2sin2x-3.由正弦函数的单调增区间得2k-22x-32k+2,得k-12xk+512,kZ.所以函数f(x)的单调增区间为k-12,k+512,kZ.(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到y=2sin 2x+1的图象,所以g(x)=2sin 2x+1,令g(x)=0,得x=k+712或x=k+1112(kZ),所以函数在每个周期上恰有两个零点,0,10恰为10个周期,故g(x)在0,10上有20个零点.22.导学号68254060(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin(x+)0,-22的图象关于直线x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f2=34623,求sin-23的值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2T=2.又因为f(x)的图象关于直线x=3对称,所以23+=k+2,k=0,1,2.因为-22,所以=-6.(2)由(1)得f2=3sin22-6=34,所以sin-6=14.由623,得0-62,所以cos-6=1-sin2-6=1-142=154.因此sin-23=sin-6-2=-sin2-6=-cos-6=-154.
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