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1.2椭圆的简单性质课后训练案巩固提升A组1.设椭圆=1(ab0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有解析:e=,.a2=b2+c2,b2=a2.x1+x2=-,x1x2=-,=(x1+x2)2-2x1x2=+1=0,得m1.又m5,故选C.答案:C3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是()A.B.C.-1D.解析:由题意得|AF1|=,|AF2|=|BF2|.ABF2是等腰直角三角形,|AF1|=|F1F2|,即=2c.b2=a2-c2=2ac.整理得e2+2e-1=0,e=-1.答案:C4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.=1B.+y2=1C.=1D.x2+=1解析:依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=,故所求椭圆的标准方程是=1.答案:A5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),则=(x0,y0)(x0+1,y0)=+x0+.P为椭圆上一点,=1.+x0+3+x0+3=(x0+2)2+2.-2x02,的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.答案:C6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.解析:由已知,得a=2b,c=2,又a2-b2=c2,故b2=4,a2=16,又焦点在x轴上,故椭圆方程为=1.答案:=17.导学号90074059已知椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图所示,e=-1.|PF2|-1,即e-1,e2+2e-10.又0e1,-1eb0).由已知a=2b,且椭圆过点(2,-6),从而有=1或=1.由,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.故所求椭圆的方程为=1或=1.(2)如图所示,A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,c=b=3.a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为=1.10.已知椭圆=1(ab0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.解(方法一)由题意,直线AB的方程为=1,即bx-ay+ab=0.焦点F1到直线AB的距离d=,.两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,解得e=或e=(舍去).(方法二)在AF1B中,由面积公式可得=(a-c)b,将b2=a2-c2代入上式,整理得8c2-14ac+5a2=0.(以下解法同解法一)B组1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A.6,10B.6,8C.8,10D.16,20解析:不妨设焦点在x轴上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x0|a=10,|y0|b=8,点M到椭圆中心的距离d=.又因为=1,所以=64=64-,则d=.因为0100,所以64+64100,所以8d10.故选C.答案:C2.已知c是椭圆=1(ab0)的半焦距,则的取值范围是()A.(1,+)B.(,+)C.(1,)D.(1,解析:如图,在AFO中,令AFO=,其中为锐角,则=sin +cos =sin(1,.答案:D3.如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.解析:设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.又|P4F|=a,|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.答案:354.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程.解依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=,适合.所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设MF1F2=(0180),问取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?解(方法一)如图,建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,椭圆方程为+y2=1.当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.故可设过F1的直线方程为y=k(x+2).代入,整理可得(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,x1+x2=,x1x2=.代入|MN|=,可得|MN|=.=2,k=,即tan =,=或=.(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4,在MF1F2中利用余弦定理得x=,若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4,在NF1F2中利用余弦定理得y=,|MN|=x+y=,=2,cos =,=或=.6.导学号90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?解分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则椭圆的方程为=1.设顶点A的坐标为(x0,y0),x00,y00,则=1,得(502-)=(502-).根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.由于(502-)=.当时,取得最大值,此时S也取得最大值.此时x0=25,y0=15,矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4(25+15)=160(m).因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为160 m.
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