资源描述
考查角度3用导数研究函数的零点问题分类透析一确定函数零点或方程根的个数问题例1 已知函数f(x)=ex-1,g(x)=x+x,其中e是自然对数的底数,e=2.71828.(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点.(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.分析 (1)先整理出函数关系式,再通过零点存在性定理证明;(2)本问求解的关键是通过构造函数,把方程根的问题转化为函数零点问题来解决.解析 (1)由h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x-x得,h(1)=e-30,且h(x)在区间(1,2)上是连续的,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)由(1)得h(x)=ex-1-x-x,x0,+).又h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点,又由(1)知h(x)在(1,2)内有零点,因此h(x)在0,+)上至少有两个零点.因为h(x)=ex-12x-12-1,记(x)=ex-12x-12-1,则(x)=ex+14x-32.当x(0,+)时,(x)0,因此(x)在(0,+)上单调递增,则(x)在(0,+)上至多只有一个零点,即h(x)在0,+)上至多有两个零点.所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.方法技巧 利用导数确定函数零点或方程根个数的方法(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)=0可解),转化为确定函数g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象,利用数形结合求解.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.分类透析二根据函数的零点或方程根的个数求参数的取值范围例2 已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间0,12上无零点,求a的最小值.分析 (1)利用导数求单调性的方法求出函数的单调区间;(2)把函数f(x)构造成两个函数进行分析求解.解析 (1)当a=1时,f(x)=x-1-2ln x,则f(x)=1-2x,x(0,+).由f(x)0,得x2,由f(x)0,得0x12,所以当x0,12时,f(x)f12=0.故f(x)在0,12上无零点.综上,a的最小值为2-4ln 2.方法技巧 用导数研究函数的零点问题,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、图象确定其中参数的取值范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间的区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在性定理及函数的单调性,准确求出函数的零点个数.1.(2018年浙江卷,22改编)设函数f(x)=lnx-ax(aR).(1)求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程,并证明:除点A外,曲线y=f(x)都在该切线的下方.(2)若函数h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)上有零点,求a的取值范围.解析 (1)由题意知f(x)=1x-a,所以f(1)=1-a.因为f(1)=-a,所以切线方程为y+a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x-1.设p(x)=f(x)-(1-a)x+1=lnx-x+1,则p(x)=1-xx.若x1,则p(x)0;若0x0.所以p(x)max=p(1)=0.所以p(x)0,所以f(x)(1-a)x-1,当且仅当x=1时,取等号,故除点A外,曲线y=f(x)都在该切线的下方.(2)h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)上有零点,即a=ex+lnxx在x(1,3)上有实数解.设F(x)=ex+lnxx,则F(x)=ex(x-1)+1-lnxx2.设g(x)=ex(x-1)+1-ln x,则g(x)=xex-1x2.由函数的单调性和零点存在性定理,得函数y=ex-1x2(x0)的零点在(0,1)上,且y0在(1,3)上恒成立,所以g(x)0(x(1,3),即g(x)在(1,3)上单调递增,所以g(x)g(1)=1,则F(x)0在(1,3)上恒成立.所以F(x)在(1,3)上单调递增,所以F(x)e,e3+ln33,所以a的取值范围是e,e3+ln33.2.(2016年北京卷,文20改编)已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.解析 (1)由题意得f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a0,所以当a0时,由f(x)0,解得xa,由f(x)0,解得-ax0时,f(x)的单调递增区间为(-,-a),(a,+),f(x)的单调递减区间为(-a,a).(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,解得a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由f(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性,可知f(x)在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=1,在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合函数f(x)的图象(图略),可知m的取值范围是(-3,1).3.(2016年全国卷,文21改编)已知f(x)=(1-x)ex-1.(1)证明:函数f(x)有且仅有一个零点.(2)设g(x)=f(x)x,x-1,且x0,证明:g(x)0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0时,f(x)0,则g(x)01.当-1x0时,g(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1.当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x(-1,0)时,h(x)0,h(x)在(-1,0)上单调递减.所以当-1xh(0)=0,即f(x)x,g(x)-1且x0时,总有g(x)0).令g(x)=xex-a(x0),则g(x)=(x+1)ex0,故g(x)在(0,+)上单调递增,则g(x)g(0)=-a,因此,当a0或a=e时,f(x)只有一个零点;当0ae时,f(x)有两个零点.(2)当a0时,xex-a0,则函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-e.当a0时,函数y=xex-a在(0,+)上单调递增,则必存在正数x0,使得x0ex0-a=0.若ae,则x01,函数f(x)在(0,1)和(x0,+)上单调递增,在(1,x0)上单调递减.又f(1)=-e,故不符合题意.若a=e,则x0=1,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增.又f(1)=-e,故不符合题意.若0ae,则0x01,设正数b=e-ea-1(0,1),则f(b)=(b-2)eb+a(lnb-b+1)a(lne-ea-1-b+1)=a-ea-b=-e-ab0.(1)求当m=1时,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率;(2)求函数f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1f(1)恒成立,求m的取值范围.解析 (1)当m=1时,f(x)=-13x3+x2,则f(x)=-x2+2x,所以f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为1.(2)由题意得,f(x)=-x2+2x+m2-1,令f(x)=0,得x=1-m或x=1+m.因为m0,所以1+m1-m.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,1-m)1-m(1-m,1+m)1+m(1+m,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值故f(x)在(-,1-m)和(1+m,+)上是减函数,在(1-m,1+m)上是增函数.所以函数f(x)在x=1+m处取得极大值,且极大值为f(1+m)=23m3+m2-13;函数f(x)在x=1-m处取得极小值,且极小值为f(1-m)=-23m3+m2-13.(3)由题意得,f(x)=x-13x2+x+m2-1=-13x(x-x1)(x-x2),所以方程-13x2+x+m2-1=0有两个不同的实根x1,x2,故=1+43(m2-1)0,解得m12.若x10x2,由图象(图略)可知,(1-m)x1,x2,1x1,x2,由(2)知f(1-m)f(1),不合题意,所以0x1f(1)等价于f(1)0,即f(1)=m2-130,解得-33m33,综上所述,m的取值范围是12,33.4.(2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习)已知函数f(x)=lnx+1x-a.(1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(2)若函数g(x)=xlnx-12ax2+a2有两个极值点,试判断函数g(x)的零点个数.解析 (1)令(x)=lnx+1x,由题意知y=(x)的图象与 y=a的图象有两个交点.(x)=-lnxx2.当0x0,(x)在(0,1)上单调递增;当x1时,(x)1时,(x)(0,1).综上可知,当且仅当a(0,1)时,y=a与y=(x)的图象有两个交点,即函数f(x)有两个零点.(2)函数g(x)有两个极值点,由g(x)=lnx+1-ax=0,得lnx+1x-a=0有两个不同的根x1,x2(设x1x2).由(1)知,0x11x2,0a1,且lnxi+1xi=a(i=1,2),函数g(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,故g(x1)g(1)=0.又x0,g(x)a20,x+,g(x)-,函数g(x)恰有三个零点.
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