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42导数的运算读教材填要点1求导公式(1)几个幂函数的导数：原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)x3f(x)3x2f(x)f(x)f(x)f(x)(2)基本初等函数的导数公式：原函数导函数f(x)x(0)f(x)x1f(x)exf(x)exf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)ln x(x0)f(x)f(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)tan xf(x)2求导法则(1)(cf(x)cf(x)；(2)(f(x)g(x)f(x)g(x)，(f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)(f(x)0)；(5)(f(x)0)；(6)若yf(u)，ug(x)，则yxyuux.小问题大思维1下面的计算过程正确吗？cos.提示：不正确因为sin是一个常数，而常数的导数为零，所以0.若函数f(x)sin x，则f.2若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)0，那么下列关系式成立吗？(1)af(x)bg(x)af(x)bg(x)(a，b为常数)；(2)(a为常数)提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确3函数yln(2x1)的导函数是什么？提示：yln(2x1)是由函数yln u和u2x1复合而成的，yxyuux(2x1).应用导数公式求导数 求下列函数的导数：(1)y10x；(2)ylg x；(3)ylogx；(4)y；(5)y21.自主解答(1)y(10x)10xln 10.(2)y(lg x).(3)y(logx).(4)y()(x)x .(5)y21sin22sincoscos21sin x，y(sin x)cos x.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式1求下列函数的导数：(1)yx；(2)yx；(3)ylg 5；(4)y3lg；(5)y2cos21.解：(1)yxlnex.(2)yxln10xln 10.(3)ylg 5是常数函数，y(lg 5)0.(4)y3lglg x，y(lg x).(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.利用导数运算法则求导数 求下列函数的导数(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)yxsin x；(5)ye3x；(6)y5log2(2x1)自主解答(1)y(xtan x).(2)(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.(3)y.(4)y(xsin x)sin xxcos x.(5)函数ye3x可以看成函数yeu和函数u3x的复合函数yxyuux(eu)(3x)3eu3e3x.(6)函数y5log2(2x1)可以看成函数y5log2u和函数u2x1的复合函数yxyuux5(log2u)(2x1).(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代”，即：弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；利用求导法则分层求导；最终结果要将中间变量换成自变量注意不要漏掉第步回代的过程2求下列函数的导数：(1)y2xcos x3xlog2x；(2)y(2x23)(3x2)；(3)y；(4)y；(5)y；(6)yxex.解：(1)y(2xcos x3xlog2x)(2x)cos x2x(cos x)3xlog2xx(log2x)2xln 2cos x2xsin x3(log2xx)2xln 2cos x2xsin x3log2x.(2)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(3)y.(4)法一：y1.法二：yx2，y1.(5)函数y(13x)4可以看作函数yt4和t13x的复合函数，根据复合函数求导法则可得yxyttx(t4)(13x)(4t5)312(13x)5.(6)函数yex可以看作函数yeu和ux的复合函数，所以yxyuux(eu)(x)euex，所以y(xex)xexx(ex)exx(ex)(1x)ex.导数的实际应用 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h(t)4.9t214.7t18，求烟花在t2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况自主解答烟花在t2 s时的瞬时速度就是h(2)h(t)9.8t14.7，h(2)4.9.即在t2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在01.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键3某圆柱形容器的底面半径为1 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速度放出，求液面高度的瞬时变化率解：设液体放出t s后的液面高度为h m，则由题意得12h0.01t，化简得h1t，液面高度的瞬时变化率为h(m/s)求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离解法一：设直线l：xym0(m2)与抛物线yx2相切，显然直线l与直线xy20平行依题意知，l与直线xy20间的距离就是要求的最短距离，由得x2xm0.由14m0，得m，l的方程为xy0.两平行线间的距离为d.抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为.法二：依题意知，与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短设切点坐标为(x0，x)y(x2)2x，2x01，x0.切点坐标为.切点到直线xy20的距离为d.1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A1 B.C1 D0解析：f(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1.答案：A2已知函数f(x)xln x，则f(1)的值为()A1 B2C1 D2解析：f(x)1，f(1)2.答案：B3下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：x1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x.答案：B4若函数f(x)，则f(2)_.解析：由f(x)，得f(2).答案：5(全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_解析：因为y2x，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y|x12111，所以切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy106已知函数f(x)，g(x)aln x，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程解：f(x)，g(x)(x0)，设两曲线的交点为P(x0，y0)，则解得a，x0e2，所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为kf(e2)，所以切线的方程为ye(xe2)，即x2eye20.一、选择题1若指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(1)ln 27，则f(1)()A2Bln 3C. Dln 3解析：f(x)axln a，由f(1)aln aln 27，解得a3，则f(x)3xln 3，故f(1).答案：C2某汽车的路程函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，汽车的加速度是()A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t)s(t)6t2gt，则v(t)12tg，故当t2 s时，汽车的加速度是v(2)1221014 m/s2.答案：A3函数f(x)exsin x的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A. B.C. D.解析：因为f(x)exsin xexcos x，所以f(0)1，即曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为1，所以在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为.答案：C4曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.解析：y，把x代入得导数值为.答案：B二、填空题5已知f(x)，g(x)mx，且g(2)，则m_.解析：f(x)，f(2).又g(x)m，g(2)m.由g(2)，得m4.答案：46设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.解析：因为f(ex)xex，所以f(x)xln x(x0)，所以f(x)1，所以f(1)2.答案：27已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin xf1.答案：18设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析：yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，又yaeax，a2.答案：2三、解答题9求下列函数的导数(1)y(2 0188x)8；(2)y；(3)yx；(4)ycos xsin 3x.解：(1)y8(2 0188x)7(2 0188x)64(2 0188x)764(8x2 018)7.(2)y.(3)y x(1x2) x(1x2) (1x2)x(1x2) 2x.(4)y(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3xcos xcos 3x(3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x.10已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或1.(2)曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，a.a的取值范围是.
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