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21坐标系与参数方程1.已知动点P,Q都在曲线C:x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)由题意得P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2),故点M的轨迹的参数方程为x=cos+cos2,y=sin+sin2(为参数,02).(2)点M到坐标原点的距离d=x2+y2=2+2cos(00),曲线N的参数方程为x=255t,y=1+55t(t为参数,且t0).(1)以曲线N上的点与原点O连线的斜率k为参数,写出曲线N的参数方程;(2)若曲线M与N的两个交点为A,B,直线OA与直线OB的斜率之积为43,求r的值.解析(1)将x=255t,y=1+55t消去参数t,得x-2y+2=0(x0),由题意可知k12.由x-2y+2=0,y=kxk12,得x=22k-1,y=2k2k-1k12.故曲线N的参数方程为x=22k-1,y=2k2k-1k为参数,且k12.(2)由曲线M的参数方程得其普通方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,将x=22k-1,y=2k2k-1代入上式,整理得(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0.因为直线OA与直线OB的斜率之积为43,所以17-r216-4r2=43,解得r2=1.又r0,所以r=1.将r=1代入(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0,得12k2-28k+16=0,满足0,故r=1.能力3会解极坐标与参数方程的综合问题【例3】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=a-22t,y=1+22t(t为参数,aR),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos2+2cos -=0.(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P(a,1),曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|PB|=4,求实数a的值.解析(1)由C1的参数方程消去t得其普通方程为x+y-a-1=0.由C2的极坐标方程得2cos2+2cos -2=0,所以C2的直角坐标方程为y2=2x.(2)将曲线C1的参数方程代入曲线C2:y2=2x,得t2+42t+2(1-2a)=0,由0得a-32.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=2(1-2a).由题意得|PA|PB|=|t1t2|=|2(1-2a)|=4,解得a=-12或a=32,满足0,所以实数a的值为-12或32.涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程方便.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+25cos,y=4+25sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为=3(R).(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=6(R),设C2与C1的交点为O,M,C3与C1的交点为O,N,求OMN的面积.解析(1)将曲线C1的参数方程消去参数,得其普通方程为(x-2)2+(y-4)2=20,即x2+y2-4x-8y=0.把x=cos,y=sin代入方程得2-4cos -8sin =0,所以C1的极坐标方程为=4cos +8sin .由直线C2的极坐标方程得其直角坐标方程为y=3x.(2)设M(1,1),N(2,2),分别将1=3,2=6代入=4cos +8sin ,得1=2+43,2=4+23.则OMN的面积S=1212sin(1-2)=12(2+43)(4+23)sin6=8+53.1.在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:=2,曲线C2:sin-4=2.(1)试判断曲线C1与曲线C2的位置关系;(2)若曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.解析(1)=2,x2+y2=4.由sin-4=2,可得sin-cos=2,即x-y+2=0.圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=22=20).由方程组=4cos,sin=3得4sin cos=3,解得sin 2=32.=k+6(kZ)或=k+3(kZ),=23或=2.C1和C2交点的极坐标为A23,k+6,B2,k+3(kZ).SAOB=12|AO|BO|sinAOB=12232sin6=3.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3+2cos,y=1+2sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线l:=4(0)和曲线C2:(sin +2cos )=2cos2+m.(1)判断射线l和曲线C1公共点的个数;(2)若射线l与曲线C2 交于A,B两点,且满足|OA|=|AB|,求实数m的值.解析(1)由题意得射线l的直角坐标方程为y=x(x0),曲线C1是以(3,1)为圆心,2为半径的圆,其直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=2.联立y=x(x0),(x-3)2+(y-1)2=2,解得x=2,y=2,故射线l与曲线C1有一个公共点(2,2).(2)将=4代入曲线C2的方程,得sin4+2cos4=2cos24+m,即2-32+2m=0.由题知=(32)2-8m0,m0,解得0m94.设方程的两个根分别为1,2(012),由韦达定理知 1+2=32,12=2m.由|OA|=|AB|,得|OB|=2|OA|,即2=21,1=2,2=22,m=2.
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