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06三角恒等变换与解三角形1.已知cos22sin-4=52,则tan +1tan=().A.-18B.-8C.18D.8解析因为cos22sin-4=cos2-sin2sin-cos=-(cos +sin )=52,所以sin cos =18,而tan +1tan=sincos+cossin=1sincos=8,故选D.答案D2.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,其中ba且2asin(A+B)=3c,则角A等于().A.3B.3或23C.6D.6或56解析由诱导公式可得sin(A+B)=sin(-C)=sin C,利用正弦定理可得2sin AsinC=3sin C,解得sin A=32,即A=3或A=23,又ba,所以A=3,故选A.答案A3.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,且a2-ab=c2-ac,则cos C的值为().A.12B.-12C.32D.-32解析由a,b,c成等比数列得b2=ac,代入a2-ab=c2-ac,得a2+b2-c2=ab,则cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,故选A.答案A4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45,沿A向北偏东30方向前进100 m后到达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度为.解析如图所示,DC平面ABC,AB=100 m,DBC=30,DAC=45,CAB=60.设CD=h m,则AC=h m,同理可得BC=3h m.在ABC中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 60,则(3h)2=h2+1002-2h10012,化为h2+50h-5000=0,解得h=50,因此水柱的高度是50 m.答案50 m能力1能熟练进行三角恒等变换和求值【例1】(1)设0,2,0,2,且tan =1+sincos,则().A.3-=2B.3+=2C.2-=2D.2+=2(2)已知cos+4=210,0,2,cos =13,(0,),则cos(-2)的值为.解析(1)由tan =1+sincos,得sincos=1+sincos,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos .又cos =sin2-,所以sin(-)=sin2-.因为0,2,0,2,所以-2-2,02-2.所以-=2-,所以2-=2.(2)因为0,2,所以+44,34.因为cos+4=210,所以sin+4=7210,所以sin =sin+4-4=sin+4cos4-cos+4sin4=721022-21022=35,所以cos =45.因为cos =13,(0,),所以sin =223,所以sin 2=429,cos 2=-79,所以cos(-2)=cos cos 2+sin sin 2=45-79+35429=122-2845.答案(1)C(2)122-2845三角恒等变换中的“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2+cos2=tan 45.(2)项的分拆与角的配凑:sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等.(3)降幂与升幂:正用和逆用二倍角公式.(4)弦、切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类.已知2,且sin =13.(1)求sin 2的值;(2)若sin(+)=-35,0,2,求sin 的值.解析(1)2,且sin =13,cos =-223,故sin 2=2sin cos =-429.(2)2,0,2,+2,32.由sin(+)=-35得cos(+)=-45,故sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =-35-223-4513=4+6215.能力2正弦定理、余弦定理的简单应用【例2】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3cacosB=tan A+tanB.(1)求角A的大小;(2)设D为AC边上的一点,且BD=5,DC=3,a=7,求c的值.解析(1)在ABC中,3cacosB=tan A+tanB,3sinCsinAcosB=sinAcosA+sinBcosB,即 3sinCsinAcosB=sinAcosB+sinBcosAcosAcosB,3sinA=1cosA,则 tan A=3,A=3.(2)BD=5,DC=3,a=7,由余弦定理可得cosBDC=25+9-49235=-12,BDC=23,又A=3,ABD为等边三角形,c=5.在解三角形中,利用已知条件进行化简变形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化,减少变量的数量,在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ba+c=1-sinAsinC+sinB.(1)求角C的大小;(2)若SABC=23,a+b=6,求边c.解析(1)ba+c=1-sinAsinC+sinB=sinC+sinB-sinAsinC+sinB.由正弦定理得ba+c=c+b-ac+b,化简得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=12.C(0,),C=3.(2)由(1)知C=3,又SABC=12absin C=12ab32=23,ab=8.由余弦定理得c2=a2+b2-2ab12=(a+b)2-3ab=12,c=23.能力3会解三角形与三角函数的综合问题【例3】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,且4S=3(a2+b2-c2).(1)求角C的大小;(2)若f(x)=4sin xcosx+6+1,且当x=A时,f(x)取得最大值b,试求S的值.解析(1)由已知得412absin C=3(a2+b2-c2)=23abcos C,即tan C=3.因为C(0,),所以C=3.(2)f(x)=4sin x32cosx-12sinx+1 =23sin xcosx-2sin2x+1=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.当2x+6=2k+2(kZ),即x=k+6(kZ)时,f(x)max=2.因为A(0,),所以A=6,b=2,故B=-A-C=2,a=bsinA=1,c=bsinC=3,所以S=12acsin B=32.求解有关解三角形与三角函数的综合问题,要注意三角形内角的范围,一般是先定角,再定范围,最后利用三角函数的单调性和倍角公式进行转化.设函数f(x)=sin2x+6+sin2x-cos2x.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若角A满足f(A)=1,a=3,ABC的面积为32,求b+c的值.解析(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6.令-2+2k2x-62+2k,kZ,得-6+kx3+k,kZ.f(x)的单调递增区间为-6+k,3+k,kZ.(2)由题意知f(A)=sin2A-6=1,0A,-62A-6116,2A-6=2,解得A=3.S=12bcsin A=32,bc=2.又b2+c2-2bccos3=3,化简得(b+c)2-3bc=3,则(b+c)2=9,b+c=3.能力4熟练解决三角形中的几何计算问题【例4】如图,在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,sin 2C=sin B,D,E均为线段BC上的点,且BD=CD,BAE=CAE.(1)求线段AD的长;(2)求ADE的面积.解析(1)由sin 2C=sin B得cos C=sinB2sinC=b2c.因为c=4,b=2,所以cos C=b2c=14.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=a2+4-164a=14,所以a=4,即BC=4.在ACD中,CD=2,AC=2,所以AD2=AC2+CD2-2ACCDcos C=6,所以AD=6.(2)因为AE是BAC的平分线,所以SABESACE=12ABAEsinBAE12ACAEsinCAE=ABAC=2.又SABESACE=BEEC,所以BEEC=2,所以EC=13BC=43,DE=2-43=23.因为cos C=14,所以sin C=1-cos2C=154,所以SADE=SACD-SACE=1222154-12243154=156.求三角形的中线或角平分线长度,常借助中线与角平分线把一个三角形分为两个三角形,分析两个三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理求解,此外利用平面向量法也可以求解.在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a, b,c,已知b(1+2cos C)=2acos C+ccosA.(1)证明:a=2b.(2)若ABC的面积S=4sin C,D为线段AB的中点,CD=6,求c.解析(1)因为b(1+2cos C)=2acos C+ccosA,所以sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+sinCcosA,所以sin(A+C)+2sin BcosC=2sin AcosC+cosAsinC,所以2sin BcosC=sin AcosC.又0C0,0,0)的部分图象如图所示,且f()=1,0,3,则cos2+56=().A.13B.223C.223D.-223解析由图象可得A=3,T=2=4712-3=,解得=2,故f(x)=3sin(2x+),代入点3,-3可得3sin23+=-3,sin23+=-1,即有23+=-2+2k(kZ),=2k-76(kZ),又0,=56,故f(x)=3sin2x+56.又f()=3sin2+56=1,sin2+56=13.0,3,2+5656,32,cos2+56=-1-sin22+56=-223,故选D.答案D二、填空题9.若2,且3cos 2=sin4-,则sin 2的值为.解析因为3cos 2=sin4-,所以3cos 2=22cos -22sin ,两边平方得9cos22=12(1-sin 2),即18(1-sin22)=1-sin 2,整理得(17+18sin 2)(1-sin 2)=0,又2,所以sin 2=-1718或sin 2=1(舍去).答案-171810.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若bcosA+acosB=23b,且a2sin A=b2sin A+23S,则A=.解析bcosA+acosB=23b,sin BcosA+sinAcosB=23sin B,sin(A+B)=23sin B,即sin C=23sin B,则c=23b.a2sin A=b2sin A+23S,a2sin A=b2sin A+3bcsin A,则a2=b2+3bc,即a2=b2+6b2=7b2,cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b243b2=32,A=30.答案30三、解答题11.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知absinC=20sin B,a2+c2=41,且8cos B=1.(1)求b的值.(2)证明:ABC的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.解析(1)absinC=20sin B,abc=20b,即ac=20,则b=a2+c2-2accosB=41-4018=6.(2)ac=20,a2+c2=41,a=4,c=5或a=5,c=4.若a=4,c=5,则cos A=52+62-42256=34,cos B=18,2342-1=2cos2A-1=cos 2A,B=2A;若a=5,c=4,同理可得B=2C.故ABC的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.12.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosB-2cosA2a-b=cosCc.(1)求ab的值;(2)若角A是钝角,且c=3,求b的取值范围.解析(1)由题意及正弦定理得sin CcosB-2sin CcosA=2sin AcosC-sin BcosC, sin CcosB+sinBcosC=2(sin CcosA+sinAcosC).sin(B+C)=2sin(A+C).A+B+C=,sin A=2sin B,ab=2.(2)由余弦定理得cos A=b2+9-a22b3=b2+9-4b26b=9-3b26b3.b+ca,即b+32b,b3.由得b的取值范围是(3,3).13.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的正弦值;(2)若a=25,求ABC面积的最大值.解析(1)2c-ba=cosBcosA,2c-bcos A=acosB.由正弦定理得2sinC-sinBcos A=sin AcosB,整理得2sin CcosA-sin BcosA=sin AcosB,2sin CcosA=sin AcosB+sinBcosA=sin C.在ABC中,sin C0,cos A=12,sin A=32.(2)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,a=25.b2+c2-20=bc2bc-20,bc20,当且仅当b=c时,取等号.ABC的面积S=12bcsinA53,ABC面积的最大值为53.
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