高等数学线性代数初步.ppt

第七章线性代数初步 线性代数主要是研究矩阵和向量间的线性关系的一个数学分支 它在科学技术各领域中有着重要的应用 特别是计算机技术的飞速发展 促进了线性代数的应用 线性代数是学习医学统计 生物数学等课程的不可缺少的基础知识 第一节行列式 行列式是为求解线性方程组的有力工具 可由求二元和三元线性方程组着手 引进2阶和3阶行列式 然后推广到阶行列式 用消元法解二元线性方程组 一 行列式的概念和计算 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意分母都为原方程组的系数行列式 例1 解 三阶行列式 定义 记 6 式称为数表 5 所确定的三阶行列式 1 沙路法 三阶行列式的计算 2 对角线法则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 绿线上三元素的乘积冠以负号 说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 例 解 按对角线法则 有 全排列及其逆序数 引例 用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解 123 1 2 3 百位 3种放法 十位 2 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法 问题 定义 把个不同的元素排成一列 叫做这个元素的全排列 或排列 个不同的元素的所有排列的种数 通常用表示 由引例 同理 在一个排列中 若数则称这两个数组成一个逆序 例如排列32514中 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大为标准次序 排列的逆序数 32514 定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 例如排列32514中 32514 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3 1 0 1 0 5 n阶行列式 定义n阶行列式 n orderdeterminant 说明 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 3 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 5 的符号为 6 一阶行列式 不是的绝对值 例如 余子式与代数余子式 定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 有了代数余子式的概念 可以把高阶行列式化为一些较低阶的行列式的代数和来计算行列式的值 通常 我们总是按含0最多的行或列来展开展开行列式 因为0位置的代数余子式乘0后仍然是0 例1 解 二 行列式的性质与计算 性质1行列式的值等于它的转置行列式的值 行列式称为行列式的转置行列式 记 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 1 行列式的概念和计算 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 性质3如果行列式有两行 列 对应相同 则行列式的值为零 性质4行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两项之和 则些行列式等于两个行列式之和 即 性质6行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证明 性质7把行列式的某一列 行 的各元素乘以某一常数后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 即 性质8若行列式中有一行 列 元素全是零 则行列式等于零 例 计算行列式常用方法 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 2 行列式的计算 解 对任意的阶行列式可利用行列式的性质将其化为三角形行列式 这时再计算行列式的值 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证 同理 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 三 小结 排列具有奇偶性 计算排列逆序数常用的方法有2种 个不同的元素的所有排列种数为 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 行列式的6个性质