高考数学复习-选择题的做法-裴永磊文库.ppt

选择题是高考数学试卷的三大题型之一 选择题的分数一般占全卷的40 左右 高考数学选择题的基本特点是 1 绝大部分数学选择题属于低中档题 且一般按由易到难的顺序排列 主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用 并且因为它还有相对难度 如思维层次 解题方法的优劣选择 解 专题八解题方法技巧 第1讲选择题的做法 第二部分方法技巧篇 2 选择题具有概括性强 知识覆盖面广 小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点 且每一题几乎都有两种或两种以上的解法 能有效地检测学生的思维层次及观察 分析 判断和推理能力 目前高考数学选择题采用的是一元选择题 即有且只有一个正确答案 由选择题的结构特点 决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法 解选择题的基本原则是 小题不能大做 要充分利用题目中 包括题干和选项 提供的各种信息 排除干扰 利用矛盾 作出正确的判断 数学选择题的求解 一般有两条思路 一是从题干出发考虑 探求结果 二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法 概念辨析法 图象分析法 特例检验法 排除法 逆向思维法等 这些方法既是数学思维的具体体现 也是解题的有效手段 准确区分相应概念的内涵与外延 同时在审题时要多加小心 准确审题以保证正确选择 一般说来 这类题目运算量小 侧重判断 下笔容易 但稍不留意则易误入命题者设置的 陷阱 一 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发 通过对数学概念的辨析 进行少量运算或推理 直接选择出正确结论的方法 这类题目常涉及一些似是而非 很容易混淆的概念或性质 这需要考生在平时注意辨析有关概念 例1已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 给出下列条件 a kb k R x1x2 y1y2 0 a 3b 2a b a b a b 2x1x2y1y2 其中能够使得a b的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析显然 是正确的 这是共线向量的基本定理 是错误的 这是两个向量垂直的条件 是正确的 因为由 a 3b 2a b 可得 a 3b 2a b 当 时 整理得a b 故a b 当 时也可得到a b 是正确的 若设两个向量的夹角为 则由a b a b cos 可知cos 1 从而 0 所以a b 是正确的 由 2x1x2y1y2 可得 x1y2 x2y1 2 0 从而x1y2 x2y1 0 于是a b 答案D 探究提高平行向量 共线向量 是一个非常重要 非常有用的概念 应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法 同时要将共线向量与向量中的其他知识 例如向量的数量积 向量的模以及夹角等 有机地联系起来 能够从不同的角度来理解共线向量 变式训练1 陕西高考改编 关于平面向量a b c 有下列三个命题 若a b a c 则b c 若a 1 k b 2 6 a b 则k 3 A B C D 解析 a b a c a b c 0 a与b c可以垂直 而不一定有b c 故 为假命题 a b 1 6 2k k 3 故 为真命题 由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60 a b为其对角线上的向量 a与a b夹角为30 故 为假命题 非零向量a和b满足 a b a b 则a与a b的夹角为60 则假命题为 B 直接对照型选择题是直接从题设条件出发 利用已知条件 相关概念 性质 公式 公理 定理 法则等基础知识 通过严谨推理 准确运算 合理验证 从而直接得出正确结论 然后对照题目所给出的选项 对号入座 从而确定正确的选择支 这类选择题往往是由计算题 应用题或证明题改编而来 其基本求解策略是由因导果 直接求解 二 直接对照法 例2设定义在R上的函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 等于 A 13B 2C D 解析 f x 2 f x 4 f x 函数f x 为周期函数 且T 4 f 99 f 4 24 3 f 3 答案C 探究提高直接法是解选择题的最基本方法 运用直接法时 要注意充分挖掘题设条件的特点 利用有关性质和已有的结论 迅速得到所需结论 如本题通过分析条件得到f x 是周期为4的函数 利用周期性是快速解答此题的关键 变式训练2 2009 烟台模拟 函数f x 对于任意实数x满足条件f x 2 若f 1 5 则f f 5 的值为 A 5B 5C D 解析由f x 2 得f x 4 f x 所以f x 是以4为周期的函数 所以f 5 f 1 5 从而f f 5 f 5 f 1 D 例3 2009 新乡模拟 若函数f x a 2x 4 a 0 a 1 满足f 1 则f x 的单调递减区间是 A 2 B 2 C 2 D 2 思维启迪先利用条件f 1 求得a的值 确定函数的解析式 再根据复合函数单调性则求得递减区间 解析由f 1 得a2 于是a 因此f x 因为g x 2x 4 在 2 上单调递增 所以f x 的单调递减区间是 2 B 探究提高首先要熟练掌握复合函数单调性的判断方法 同增异减 其次要熟练掌握形如y ax b a 0 的函数的一些常用性质 例如其定义域为R 值域为 0 其图象的对称轴为直线x 在区间上单调递减 在上单调递增等 变式训练3 2009 临沂调研 已知f x xcosx 3 x 1 1 设函数f x 的最大值是M 最小值是N 则 A M N 8B M N 3C M N 6D M N 4 解析令g x f x 3 xcosx x 1 1 g x 是奇函数 g x 在 1 1 上的最大值与最小值互为相反数 即g x max g x min 0 f x max 3 f x min 3 0 M N 6 答案C 三 数形结合法 数 与 形 是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石 二者在内容上互相联系 在方法上互相渗透 在一定条件下可以互相转化 而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的 一般使用数形结合与数形分离的思想进行解题 对于题干中图象意义比较明显的试题 一般可用数形结合法求解 例4 2008 四川 若0 cos 则的取值范围是 A B C D 解析 sin cos sin cos 0 即 0 又 0 2 0 即 答案C 探究提高本题采用的求解方法叫做数形结合法 数形结合法就是把抽象的数学语言与直观图形结合起来 也就是使抽象思维和形象思维有机结合 通过 以形助数 或 以数解形 达到把复杂问题简单化 抽象问题具体化 从而起到优化解题途径的目的 此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用 以及正余弦函数的图象 数形结合是解三角不等式的最佳工具 作图过程中要能够将两曲线的交点以及各函数的特征描述清楚 明确题目条件 作图错误 忽视定义域等是求解错误的主要原因 变式训练4设a sin b cos c tan 则 A a b cB a c bC b c aD b a c解析 a sin sin 由角的三角函数线或三角函数图象 如图所示 可知cos sin tan 即b a c D 例5函数f x 1 2x 1 则方程f x 2x 1的实根的个数是 A 0B 1C 2D 3思维启迪若直接求解方程显然不可能 考虑到方程可转化为f x 而函数y f x 和y 的图象又都可以画出 故可以利用数形结合的方法 通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数 解析方程f x 2x 1可化为f x 在同一坐标 系下分别画出函数y f x 和y 的图象 如图所示 可以发现其图象有两个交点 因此方程f x 有两个实数根 答案C 探究提高一般地研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题 要多考虑利用数形结合法 方程f x 0的根就是函数y f x 图象与x轴的交点 方程f x g x 的根就是函数y f x 和y g x 图象的交点 利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的 如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出 可以先对方程进行适当的变形 使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解 变式训练5函数y 的定义域为 a b 值域为 0 2 则区间 a b 的长度b a的最小值是 A 2B C 3D 解析作出函数y 的图象 如图所示 由y 0解得x 1 由y 2 解得x 4或x 所以区间 a b 的长度b a的最小值为1 D 四 特例检验法 特例检验 也称特例法或特殊值法 是用特殊值 或特殊图形 特殊位置 代替题设普遍条件 得出特殊结论 再对各个选项进行检验 从而做出正确的选择 常用的特例有特殊数值 特殊数列 特殊函数 特殊图形 特殊角 特殊位置等 特例检验是解答选择题的最佳方法之一 适用于解答 对某一集合的所有元素 某种关系恒成立 这样以全称判断形式出现的题目 其原理是 结论若在某种特殊情况下不真 则它在一般情况下也不真 利用 小题小做 或 小题巧做 的解题策略 例6已知等差数列 an 的前n项和为Sn 若 则的值为 A 2B 3C 4D 8解析方法一 特殊值检验法 取n 1 得 4 于是 当n 1时 4 方法二 特殊式检验法 注意到 取an 2n 1 方法三 直接求解法 由即于是 答案C 探究提高由于数列的一般属性在特殊情形下也成立 因此 解答涉及数列的数量关系 相关性质的选择题时 常用特殊数列 如自然数列1 2 3 4 或1 2 4 8 等进行探索 或者取特殊数值 如n 1 2 3 公比q 1等进行检验 变式训练6设 1 x x2 n a0 a1x a2x2 a2nx2n 若S a0 a2 a4 a2n 则S的值为 A 2nB 2n 1C D 解析方法一令x 1 得到3n a0 a1 a2 a2n 令x 1 得到1 a0 a1 a2 a3 a2n 2S 3n 1 方法二 特值法 令n 1 1 x x2 a0 a1x a2x2 a0 a2 2 排除B C 令n 2 1 2x 3x2 2x3 x4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a0 a2 a4 5 排除A 答案D 五 排除法 排除法是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例 对于错误的选项 逐一剔除 从而获得正确的结论 排除法是选择题的常用方法 例7如果函数y f x 的图象如图所示 那么导函数y x 的图象可能是 解析由y f x 的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减 所以其导数y f x 的函数值依次为正负正负 由此可排除B C D 答案A 探究提高本小题主要考查复合函数的图象识别 本题利用筛选法解答 简化了解答过程 达到了快速解题的目的 变式训练7已知函数y tanx在内是减函数 则 A 00时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数 排除A C 又当 1时正切函数的最小正周期长度小于 y tanx在内不连续 在这 个区间内不是减函数 这样排除D 故选B 答案B 例8若函数f x x2 2a 1 x 1的定义域被分成了四个不同的单调区间 则实数a的取值范围是 A aB D a 思维启迪考虑到四个选项中都给定了实数a的一个取值范围 因此可在这个范围中取一个特殊的值 代入函数解析式得到一个具体的函数 再研究其是否符合题意 通过这样的检验就可以排除一些选项 从而得到正确答案 解析取a 0 则函数化为f x x2 x 1 显然函数是一个偶函数 且在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 则函数只有两个单调区间 不符合题意 故可排除选项B和C 再取a 1 则函数化为f x x2 3 x 1 显然函数是一个偶函数 且在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 则函数只有两个单调区间 不符合题意 故可排除选项A 答案D探究提高在求解中 利用选择题的特征进行逆向检验 从选择支入手 逐一检验是否符合条件 往往事半功倍 变式训练8已知函数f x 2mx2 2 4 m x 1 g x mx 若对于任一实数x f x 与g x 的值至少有一个为正数 则实数m的取值范围是 A 0 2 B 0 8 C 2 8 D 0 解析由条件知当f x 0恒成立时满足条件 由解得2 m 8 即当2 m 8时 满足条件 排除A和D 当m 1时 f x 2x2 6x 1 g x x 由f x 与g x 的图象知 m 1满足题设条件 故排除C 因此 选项B正确 B 六 估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支 解答又无需过程 因此可以猜测 合情推理 估算而获得 这样往往可以减少运算量 也就自然加强了思维的层次 例9棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面如图 则图中三角形 正四面体的截面 的面积是 A B C D 解析方法一 估算法 棱长为2的正四面体的一个侧面面积记为S1 2 2 显然图中三角形 正四面体的截面 的面积介于与两者之间 从而选C 方法二棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面如图为 ABF 则图中AB 2 E为AB中点 则EF DC 在 DCE中 DE EC DC 2 EF 三角形ABF的面积是 探究提高估算省去了很多推导过程和比较复杂的计算 节省了时间 其应用广泛 它是人们发现问题 研究问题 解决问题的一种重要的运算方法 从考试的角度来看 解选择题 填空题只要选对做对就行 但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的与错误的原因 另外 在解答一道选择题 填空题时 往往需要同时采用几种方法进行分析 推理 只有这样 才会在高考时充分利用题目自身提供的信息 做到准确快速地解题 答案C 变式训练9如图 在多面体ABCDEF中 已知面ABCD是边长为3的正方形 EF AB EF EF与面AC的距离为2 则该多面体的体积为 A B 5C 6D 解析由已知条件可知 EF 平面ABCD 则F到平面ABCD的距离为2 VF ABCD 32 2 6 而该多面体的体积必大于6 故选D D 规律方法总结1 解选择题的基本方法有直接法 排除法 特例法 验证法和数形结合法 但大部分选择题的解法是直接法 在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法 巧解 在 小题小做 小题巧做 上做文章 切忌盲目地采用直接法 2 由于选择题供选答案多 信息量大 正误混杂 迷惑性强 稍不留心就会误入 陷阱 应该从正反两个方向肯定 否定 筛选 验证 既谨慎选择 又大胆跳跃 3 作为平时训练 解完一道题后 还应考虑一下能不能用其他方法进行 巧算 并注意及时总结 这样才能有效地提高解选择题的能力 1 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3时取得极值 则a等于 A 2B 3C 4D 5解析f x 3x2 2ax 3 令f x x 3 3x2 2ax 3 x 3 0 解得a 5 D 2 定义在R上的函数f x 既是奇函数 又是周期函数 T是它的一个正周期 若将方程f x 0在闭区间 T T 上的根的个数记为n 则n可能为 A 0B 1C 3D 5解析特例法 利用正弦函数图象验证 D 3 2008 福建理 12 已知函数y f x y g x 的导函数的图象如图所示 那么y f x y g x 的图象可能是 解析由导函数y f x 的图象可知y f x 在 0 单调递减 说明函数y f x 的图象上任意一点切线的斜率为单调递减 故可排除A C 又由图象知y f x 与y g x 在点x x0处相交 说明y f x 与y g x 的图象在x x0处的切线斜率相同 故可排除B 答案D 4 直角坐标系中横坐标 纵坐标均为整数的点称为格点 如果函数f x 的图象恰好通过k k N 个格点 则称函数f x 为k阶格点函数 下列函数 f x x 2 3 1 f x f x log0 2 x 1 其中是一阶格点函数的有 A B C D 解析 f x x 2 3 1仅过格点 2 1 f x log0 2 x 1 仅过格点 0 0 而 f x 过格点 2 1 1 2 等 所以选B B 5 若等比数列的各项均为正数 前n项的和为S 前n项的积为P 前n项倒数的和为M 则有 A P B P C P2 D P2 分析题中暗示对于任意符合要求的等比数列 只有一个关系式成立 因此可以考虑取几个特殊的等比数列 对各个选项逐一进行检验 确定正确的关系式 解析方法一直接对照法设等比数列的首项为a1 公比为q 当q 1时 S na1 P M 满足P2 当q 1时 S M 经过整理 可得 于是 而P2 故有P2 综上有P2 方法二特例检验法取等比数列为常数列 1 1 1 则S n P 1 M n 显然P 和P2 不成立 故选项B和D排除 这时选项A和C都符合要求 再取等比数列 2 2 2 则S 2n P 2n M 这时有P2 而P 所以A选项不正确 故选C 答案C 6 2008 江西 若0 a1 a2 0 b1 b2 且a1 a2 b1 b2 1 则下列代数式中值最大的是 A a1b1 a2b2B a1a2 b1b2C a1b2 a2b1D 解析方法一特殊值法 令a1 a2 b1 b2 则a1b1 a2b2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 最大的数应是a1b1 a2b2 方法二作差法 a1 a2 1 b1 b2且0a1 b2 1 b1 b1 0 a1 0 b1 又a1b1 a2b2 a1b1 1 a1 1 b1 2a1b1 1 a1 b1 a1a2 b1b2 a1 1 a1 b1 1 b1 a1 b1 a1b2 a2b1 a1 1 b1 b1 1 a1 a1 b1 2a1b1 a1b2 a2b1 a1a2 b1b2 2a1b1 a1 b1 2 0 a1b2 a2b1 a1a2 b1b2 a1b1 a2b2 a1b2 a2b1 4a1b1 1 2a1 2b1 1 2a1 2b1 2a1 1 2a1 1 2b1 1 4 0 a1b1 a2b2 a1b2 a2b1 a1b1 a2b2 2a1b1 a1 b1 b1 2a1 1 2a1 1 2a1 1 2 0 a1b1 a2b2 综上可知 最大的数应为a1b1 a2b2 答案A 7 若函数f x 4a的最小值等于3 则实数a的值等于 A B 1C 或1D 不存在这样的a解析方法一直接对照法令 t 则t 0 1 若a 1 则f x t a 4a 5a t不存在最小值 若0 a 1 则f x t a 4a 当t a时取得最小值4a 于是4a 3 得a 符合题意 若a 0 f x t a 4a t 3a 当t 0时取得最小值3a 于是3a 3 得a 1不符合题意 综上可知 a 方法二逆向思维法若a 1 则f x 4 4 显然函数的最小值不是3 故排除选项B C 若a f x 3 这时只要令 0 即x 函数可取得最小值3 因此A项正确 D项错误 答案A 8 2009 辽宁理 12 若x1满足2x 2x 5 x2满足2x 2log2 x 1 5则x1 x2 A B 3C D 4解析由题意知2x 5 2x 2x 1 log2 x 1 令x x 1 得2x log2x 又y 2x 与y log2x 互为反函数 图象关于y x 对称 令y 2x 与y 的交点为A y1 y log2x 与y 的交点为B y2 A与B关于y x 对称 AB中点C y0 即为直线 y 与y x 的交点 易知 x1 1 x2 1 故x1 x2 答案C 9 过抛物线y ax2 a 0 的焦点F作一直线交抛物线于P Q两点 若线段PF与FQ的长分别为p q 则等于 A 2aB C 4aD 解析x2 y 焦点F 取特殊位置PQ x轴 则p q 4a 答案C 10 经过点 3 0 的直线l与抛物线y 的两个交点处的切线相互垂直 则直线l的斜率k等于 A B C D 解析直线l的方程为y k x 3 设直线l与抛物线的两个交点为A x1 y1 B x2 y2 由得x2 2kx 6k 0 所以x1x2 6k 又因为y 所以y x 所以抛物线在A B两点处的切线的斜率分别为x1 x2 于是有x1x2 6k 1 所以k 答案A 11 椭圆b2x2 a2y2 a2b2 a b 0 A B是椭圆上的两点且OA OB互相垂直 则的值为 A B C D 不能确定解析取点A B分别为长轴与短轴的两个端点 则 OA a OB b 所以 A 12 与向量a b 的夹角相等 且模为1的向量是 A B C D 解析方法一 直接法 设所求向量e cos sin 则由于该向量与a b的夹角都相等 故 a e b e cos sin cos sin 3cos 4sin 所以可知B选项成立 故选B 方法二 数形结合法 画出a b的草图 然后画出 显然它与a b的夹角不相等 逐一排除 可选B 方法三 定性判断 验证法 若存在一向量c与a b的夹角相等 则 c与a b的夹角也一定相等 故应有2个向量 排除A C a b 若c与a b的夹角相等 由向量的夹角公式可得a c b c 显然 排除D 答案B 13 已知定义域为R的函数f x 满足f x f x 6 且当x 3时 f x 单调递减 如果x1 x23 由于x1 x2 6 3 x1 x2 3 画出y f x 的图象 如图所示 即可得到问题的解 f x1 f x2 0 答案A 14 2009 济南模拟 函数y 的图象大致是 解析y 为奇函数 故排除B 又当x 1时 y 0 故排除C 又当x 10时 y 当x 100时 y 故排除A 答案D 15 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 A 4B 5C 6D 7 解析由题意知函数f x 是三个函数y1 2x y2 x 2 y3 10 x中的较小者 作出三个函数在同一个坐标原点之下的图象 如图实线部分为f x 的图象 可知A 4 6 为函数f x 图象的最高点 C 16 若动点P Q在椭圆9x2 16y2 144上 且满足OP OQ 则中心O到弦PQ的距离OH必等于 A B C D 解析选一个特殊位置 如图 令OP OQ分别在长 短正半轴上 由a2 16 b2 9得 OP 4 OQ 3 则OH 根据 在一般情况下成立 则在特殊情况下也成立 可知 答案C正确 C 返回