2019届高考数学一轮复习 阶段检测试题（五）理 新人教版.doc

阶段检测试题 五 时间 120 分钟 满分 150 分 选题明细表 知识点 方法 题号 直线的方程 圆的方程 3 直线与直线 直线与圆 圆与圆的位置关系 1 2 13 14 椭圆定义 标准方程及简单几何性质的应用 7 8 11 16 双曲线定义 标准方程及简单几何性质的应用 6 8 9 10 抛物线定义 标准方程及简单几何性质的应用 4 15 轨迹方程 5 12 最值 范围问题 证明问题 17 20 定点 定值问题 存在性问题 18 19 21 22 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 直线 l1 2x y 1 0 与直线 l2 mx y 1 0 互相垂直的充要条件是 C A m 2 B m C m D m 2 解析 直线 l1 2x y 1 0 与直线 l2 mx y 1 0 垂直 2m 1 0 m 故 选 C 2 过原点且与圆 x2 y2 4x 3 0 相切的直线的倾斜角为 B A 或 B 或 C 或 D 或 解析 由 x2 y2 4x 3 0 得 x 2 2 y2 1 所以圆心为 2 0 半径为 1 设直线 l 的方程为 kx y 0 由圆与直线相切得 1 解得 k 设直线 l 的倾斜角为 0 0 半径为 r 则有 解得 a r2 所以要求圆的方程为 x 2 y2 故选 C 4 点 M 5 3 到抛物线 y ax2的准线的距离为 6 那么抛物线的方程是 D A y 12x2 B y 12x2或 y 36x2 C y 36x2 D y x2或 y x2 解析 将 y ax2化为 x2 y 准线 y 由已知得 3 6 所以 a 或 a 所以抛物线方程为 y 或 y x2 故选 D 5 已知动点 P x y 满足 5 3x 4y 1 则点 P 的轨迹是 B A 直线 B 抛物线 C 双曲线 D 椭圆 解析 动点 P x y 满足 5 3x 4y 1 可得 表示动点 P x y 到 1 2 与到直线 3x 4y 1 0 距离相等 又 1 2 不在直线 3x 4y 1 0 上 则 点 P 的轨迹是以 1 2 为焦点以直线 3x 4y 1 0 为准线的抛物线 故选 B 6 已知双曲线 1 a 0 b 0 与抛物线 y2 8x 有一个公共的焦点 F 且两曲线的一个交点 为 若 F 5 则双曲线的渐近线方程为 D A x 2y 0 B 2x y 0 C x y 0 D x y 0 解析 抛物线 y2 8x 的焦点坐标为 2 0 准线方程为直线 x 2 因为双曲线 1 与抛物 线 y2 8x 有一个公共的焦点 F 则双曲线的半焦距 c 2 a2 b2 4 又因为 PF 5 所以点 P 的横坐标为 3 代入抛物线 y2 8x 得 y 2 则 P 3 2 因为 点 P 在双曲线上 则有 1 联立 解得 a 1 b 所以双曲线方程为 x2 1 其渐近线方程为 y x 故选 D 7 椭圆 1 的左焦点为 F 直线 x a 与椭圆相交于点 M N 当 FMN 的周长最大时 FMN 的面积是 C A B C D 解析 设右焦点为 F 连接 MF NF 因为 MF NF MN 所以当直线 x a 过右焦点时 FMN 的周长最大 由椭圆的定义可得 FMN 的周长的最大值 4a 4 c 1 把 c 1 代入椭圆标准方程得 1 解得 y 所以此时 FMN 的面积 S 2 2 故选 C 8 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 与椭圆 1 的焦点重合 离心率互为倒数 设 F1 F2 为双曲线 C 的左 右焦点 P 为右支上任意一点 则 的最小值为 A A 4 B 8 C 16 D 32 解析 由椭圆 1 可得其焦点 F1 1 0 F2 1 0 离心率为 所以双曲线的离心率 e 2 解得 a 设 PF 2 t 由 PF 1 PF2 2a 则 PF 1 2a t 所以 t 2 2 2 4 当且仅当 t 即 t PF2 1 时取等号 所以 的最小值为 4 故选 A 9 已知双曲线 E 1 a 0 b 0 若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上 AB CD 的中点为双曲 线 E 的两个焦点 且双曲线 E 的离心率是 2 直线 BD 的斜率为 k 则 k 等于 B A 2 B C D 3 解析 令 x c 代入双曲线的方程可得 y b 由双曲线 E 的离心率是 2 可得 e 2 即 c 2a b a 直线 AC 的斜率为 k 则 k 即有 k 故选 B 10 已知点 A B 是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右顶点 P 为双曲线上除顶点外的一点 记 kPA kPB分别表示直线 PA PB 的斜率 若 kPA kPB 则该双曲线的离心率为 C A 3 B 2 C D 解析 由题意知 A a 0 B a 0 设 P m n 所以 kPA kPB 又点 P 在双曲线上 所以 1 化简得 n2 所以 kPA kPB 所以 e 故选 C 11 如图 已知椭圆 C1 y2 1 曲线 C2 y x2 1 与 y 轴的交点为 M 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2相交于 A B 两点 直线 MA MB 分别与 C1相交于 D E 两点 则 的值是 B A 正数 B 0 C 负数 D 皆有可能 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 过原点的直线 l y tx 联立 得 x2 tx 1 0 则 x1 x2 t x1x2 1 所以 x1 y1 1 x2 y2 1 x1x2 y1 1 y2 1 t2 1 x1x2 t x1 x2 1 t2 1 t2 1 0 而 所以 0 故选 B 12 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右顶点分別为 A B 点 M N 是椭圆 C 上关于长轴对称 的两点 若直线 AM 与 BN 相交于点 P 则点 P 的轨迹方程是 D A x a y 0 B y2 2b x a y 0 C x2 y2 a2 b2 y 0 D 1 y 0 解析 由题意可知 A a 0 B a 0 设 M x0 y0 N x0 y0 y0 0 P x y y 0 则直线 PA 的斜率 k 直线 PA 的方程 y x a 同理直线 PB 的斜率 k 直线 PB 的方程 y x a 得 y2 x2 a2 由 1 a2 则 y2 x2 a2 整理得 1 a b 0 y 0 即点 P 的轨迹方程为 1 a b 0 y 0 故选 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 13 直线 ax y 3 0 与圆 x 2 2 y a 2 4 相交于 M N 两点 若 MN 2 则实数 a 的取值范 围是 解析 由圆的方程得圆心坐标为 2 a 半径 r 2 由 d2 2 r2 4 所以 d2 4 又因为圆心到直线 ax y 3 0 的距离 d MN 2 所以 解得 a 答案 14 已知 a b 为正数 且直线 ax by 6 0 与直线 2x b 3 y 5 0 互相平行 则 2a 3b 的最小 值为 解析 因为直线 ax by 6 0 与直线 2x b 3 y 5 0 互相平行 所以 a b 3 2b 0 且 5a 12 0 所以 3a 2b ab 即 1 又 a b 均为正数 则 2a 3b 2a 3b 4 9 13 2 25 当且仅当 a b 5 时上式等号成立 答案 25 15 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 过点 0 3 的直线与抛物线交于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分 线交 x 轴于点 D 若 AF BF 6 则点 D 的横坐标为 解析 设 AB 的中点为 H 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 1 0 准线为 x 1 设 A B H 在准线上的射影分别为 A B H 则 HH AA BB 由抛物线的定义可得 AF AA BF BB AF BF 6 即为 AA BB 6 HH 6 3 即有 H 的横坐标为 2 设直线 AB y kx 3 代入抛物线方程 可得 k2x2 6k 4 x 9 0 即有判别式 6k 4 2 36k2 0 解得 kb 0 的左焦点为 F C 与过原点的直线相交于 A B 两点 连接 AF BF 若 AB 10 AF 6 cos ABF 则 C 的离心率 e 解析 设椭圆的右焦点为 F1 在 ABF 中 由余弦定理可解得 BF 8 所以 ABF 为直角三角 形 又因为斜边 AB 的中点为 O 所以 OF c 5 连接 AF1 因为 A B 关于原点对称 所以 BF AF 1 8 所以 2a 14 a 7 所以离心率 e 答案 三 解答题 大本题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知椭圆 C 1 a b 0 焦距为 2 离心率 e 为 1 求椭圆 C 的标准方程 2 过点 P 1 作圆 O x2 y2 的切线 切点分别为 M N 直线 MN 与 x 轴交于点 F 过点 F 的直 线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 点 F 关于 y 轴的对称点为 G 求 ABG 的面积的最大值 解 1 因为椭圆 C 1 a b 0 焦距为 2 离心率 e 为 所以由题意 2c 2 解得 c 1 由 e 解得 a 2 所以 b 所以椭圆 C 的标准方程为 1 2 由题意 得 O M P N 四点共圆 该圆的方程为 x 2 y 2 又圆 O 的方程为 x2 y2 两圆的方程作差 得 直线 MN 的方程为 x 2y 1 0 令 y 0 得 x 1 即点 F 的坐标为 1 0 则点 F 关于 y 轴的对称点为 G 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 S ABG GF y1 y2 y1 y2 所以 S ABG 最大 y 1 y2 就最大 由题意知 直线 l 的斜率不为零 可设直线 l 的方程为 x my 1 由 得 3m 2 4 y2 6my 9 0 所以 y1 y2 y1y2 则 S GAB GF y1 y2 y1 y2 令 t 则 t 1 S GAB 令 f t 3t 则函数 f t 在 上单调递增 在 t 1 时单调递增 所以 f t f 1 所以 S GAB 3 故 ABG 的面积的最大值为 3 18 本小题满分 12 分 已知直线 y x 1 与椭圆 G 1 a b 0 相交于 A B 两点 且线段 AB 的中点在直线 l x 2y 0 上 椭圆 G 的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x2 y2 4 上 1 求椭圆 G 的标准方程 2 已知点 C D 分别为椭圆 G 的右顶点与上顶点 设 P 为第三象限内一点且在椭圆 G 上 直线 PC 与 y 轴交于点 M 直线 PD 与 x 轴交于点 N 求证 四边形 CDNM 的面积为定值 1 解 将直线 y 1 x 代入椭圆方程得 b2x2 a2 1 x 2 a2b2 即 b 2 a2 x2 2a2x a2 a2b2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 即 AB 中点的横坐标是 纵坐标是 由于线段 AB 的中点在直线 l x 2y 0 上 则 a2 2b2 又 b2 a2 c2 则 a2 2c2 设右焦点 c 0 关于直线 x 2y 0 的对称点为 m n 则 解得 由于椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x2 y2 4 上 所以 4 得 c2 4 a2 8 b2 4 故椭圆方程为 1 2 证明 设 P m n m 0 nb 0 的焦距为 4 过焦点且垂直于 x 轴的弦长 为 2 1 求椭圆 E 的方程 2 过椭圆 E 右焦点的直线 l 交椭圆于点 M N 设椭圆的左焦点为 F 求 的取值范围 解 1 因为椭圆 E 1 a b 0 的焦距是 4 所以焦点坐标是 2 0 2 0 由题意可得 椭圆 E 过 2 点 所以 2a 4 则 a 2 b 2 所以椭圆 E 的方程是 1 2 由题意得 左焦点 F 2 0 右焦点坐标为 2 0 若直线 l 垂直于 x 轴 则点 M 2 N 2 4 4 14 若直线 l 不垂直于 x 轴 可设 l 的方程为 y k x 2 设点 M x1 y1 N x2 y2 联立 得到 1 2k 2 x2 8k2x 8k2 8 0 则 x1 x2 x1x2 所以 x1 2 y1 x2 2 y2 x1 2 x2 2 y1y2 x1 2 x2 2 k x1 2 k x2 2 1 k2 x1x2 2 1 k2 x1 x2 4 1 k2 14 因为 0 18 所以 4 b 0 的离心率是 过 E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆 交于 A B 两点 AB 2 1 求椭圆方程 2 过点 P 0 的动直线 l 与椭圆 E 交于两点 M N 不是椭圆的顶点 是否存在实数 使 为定值 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 解 1 由椭圆的离心率 e 则 a2 2b2 则 AB 2 则 b2 a 解得 a 2 b 所以椭圆的标准方程为 1 2 当直线 l 的斜率存在时 设直线 l 的方程为 y kx M x1 y1 N x2 y2 联立 得 1 2k 2 x2 4 kx 2 0 由韦达定理可知 x1 x2 x1x2 从而 x1x2 y1y2 x 1x2 y1 y2 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 3 1 1 k 2 k 3 2 所以当 7 时 9 故存在常数 7 使得 为定值 9 22 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右顶点分别为 A1 A2 左 右焦点分别为 F1 F2 离心率 为 点 B 4 0 F2为线段 A1B 的中点 1 求椭圆 C 的方程 2 若过点 B 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两点 已知直线 A1M 与 A2N 相交于点 G 试 判断点 G 是否在定直线上 若是 请求出定直线的方程 若不是 请说明理由 解 1 设点 A1 a 0 F2 c 0 由题意可知 c 即 a 4 2c 又因为椭圆的离心率 e 即 a 2c 联立方程 可得 a 2 c 1 则 b2 a2 c2 3 所以椭圆 C 的方程为 1 2 根据椭圆的对称性猜测点 G 在与 y 轴平行的直线 x x0上 假设当点 M 为椭圆的上顶点时 直线 l 的方程为 x 4y 4 0 此时点 N 则联立直线 x 2y 2 0 和直线 3 x 2y 6 0 可得点 G 1 据此猜想点 G 在直线 x 1 上 下面对猜想给予证明 设 M x1 y1 N x2 y2 联立方程 可得 3 4k 2 x2 32k2x 64k2 12 0 0 由韦达定理可得 x1 x2 x1x2 因为直线 y x 2 y x 2 联立两直线方程得 x 2 x 2 其中 x 为 G 点的横坐标 即证 即 3k x1 4 x2 2 k x2 4 x1 2 即证 2x1x2 5 x1 x2 8 0 将 代入上式可得 8 0 16k2 3 20k2 3 4k2 0 此式明显成立 原命题得证 所以点 G 在定直线 x 1 上