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预习课本P911，思考并完成以下问题 1什么是充分条件、必要条件？2什么是充要条件？1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2充要条件若pq且qp，则记作pq，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)x1是(x1)(x2)0的充分条件()(2)是sin 的必要条件()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()(4)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件()答案：(1)(2)(3)(4)2已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()AxBx1Cx5 Dx0答案：D3设集合Mx|0x3，Nx|00，b0”是“ab0”的_条件(填“充分”或“必要”)答案：充分充分条件、必要条件、充要条件的判断典例(1)(2017天津高考)设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(3)如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析(1)由2x0，得x2，由|x1|1，得0x2.0x2x2，x2/ 0x2，故“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件(2)mn，mnnn|n|2.当0，n0时，mn0.反之，由mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件(3)命题“若xy，则cos xcos y”等价于命题“若cos xcos y，则xy”，这个命题是假命题，故xy/ cos xcos y；命题“若cos xcos y，则xy”等价于命题“若xy，则cos xcos y”，这个命题是真命题，故cos xcos yxy.故“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件答案(1)B(2)A(3)C充要条件的判断方法(1)定义法：分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；找推式：判断“pq”及“qp”的真假；下结论：根据定义下结论(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题(3)集合法：写出集合Ax|p(x)及B x|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度活学活用1在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选A由正弦定理，得，故absin Asin B，选A.2指出下列各组命题中，p是q的什么条件(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解：(1)四边形的对角线相等/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形/ 四边形的对角线相等，p是q的既不充分也不必要条件(2)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0/ (x1)2(y2)20，p是q的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用典例已知p：实数x满足x24ax3a20，其中a0；q：实数x满足x2x60.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围解由x24ax3a20且a0得3axa，所以p：3axa，即集合Ax|3axa由x2x60得2x3，所以q：2x3，即集合Bx|2x3因为綈q綈p，所以pq，所以AB，所以a0，所以a的取值范围是.一题多变1变条件本例中条件“a0”，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围解：由x24ax3a20得ax3a，所以p：ax3a，即集合Ax|ax3a由x2x60得2x3，所以q：2x3，即集合Bx|2x3因为綈p綈q，所以qp，所以BA，所以2变条件将“q：实数x满足x2x60”改为“q：实数x满足x23x0”其他条件不变，求实数a的取值范围解：由x24ax3a20且a0得3axa.所以p：3axa，即集合Ax|3axa由x23x0得3x0，所以q：3x0，即集合Bx|3x0因为綈q綈p，所以pq，所以AB，所以1a0.所以a的取值范围是1,0)充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解 充要条件的证明典例证明：一元二次方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.证明(1)充分性：ac0，0.方程ax2bxc0有两个实数根设方程ax2bxc0的两个根分别为x1，x2，则x1x20，x1x20，ac0.故一元二次方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是acy，求证：0.证明：(1)必要性：由，得0，即y，得yx0.(2)充分性：由xy0及xy，得，即.综上所述，0.层级一学业水平达标1设p：x3，q：1xb成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3解析：选A由ab1b，从而ab1ab；反之，如a4，b3.5，则43.5/43.51，故ab/ab1，故A正确3已知a，b是实数，则“|ab|a|b|”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为|ab|a|b|a22abb2a22|ab|b2|ab|abab0，而由ab0不能推出ab0，由ab0能推出ab0，所以由|ab|a|b|不能推出ab0，由ab0能推出|ab|a|b|，故选B.4设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A0时，函数f(x)cos(x)cos x是偶函数，而f(x)cos(x)是偶函数时，k(kZ)故“0”是“函数f(x)cos(x)为偶函数”的充分不必要条件5使|x|x成立的一个必要不充分条件是()Ax0 Bx2xClog2(x1)0 D2x1解析：选B|x|xx0，选项A是充要条件选项C、D均不符合题意对于选项B，由x2x得x(x1)0，x0或x1.故选项B是使|x|x成立的必要不充分条件6如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的_条件解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即BA，所以A是B的必要不充分条件答案：必要不充分7条件p：1xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析：p：x1，若p是q的充分不必要条件，则pq，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a2且y3”是“xy5”的充要条件；b24ac0是一元二次不等式ax2bxc2且y3时，xy5成立，反之不一定，如x0，y6.所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件；不等式解集为R的充要条件是a0且b24ac0，y0.所以“lg xlg y0”成立，xy1必成立，反之不然因此“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：9下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.解：(1)|x|y|/ xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分条件(2)ABC是直角三角形/ ABC是等腰三角形，ABC是等腰三角形/ ABC是直角三角形，p是q的既不充分也不必要条件(3)四边形的对角线互相平分/ 四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p是q的必要不充分条件(4)若圆x2y2r2与直线axbyc0相切，则圆心到直线axbyc0的距离等于r，即r，所以c2(a2b2)r2；反过来，若c2(a2b2)r2，则r成立，说明x2y2r2的圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于r，即圆x2y2r2与直线axbyc0相切，故p是q的充要条件10已知命题p：对数函数f(x)loga(2t27t5)(a0，且a1)有意义，q：关于实数t的不等式t2(a3)t(a2)0，解得1t.所以实数t的取值范围是.(2)因为命题p是q的充分条件，所以是不等式t2(a3)t(a2)0的解集的子集因为方程t2(a3)t(a2)0的两根为1和a2，所以只需a2，解得a.即实数a的取值范围为.层级二应试能力达标1“0ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当0ab成立，所以是充分条件；当ab时，有ab，不能推出0a0”是“x1”的必要条件B已知向量m，n，则“mn”是“mn”的充分条件C“a4b4”是“ab”的必要条件D在ABC中，“ab”不是“AB”的充分条件解析：选AA中，当x1时，有x0，所以A正确；B中，当mn时，mn不一定成立，所以B不正确；C中，当ab时，a4b4不一定成立，所以C不正确；D中，当ab时，有AB，所以“ab”是“AB”的充分条件，所以D不正确故选A.3已知直线l，m，平面，且m，则()A“l”是“lm”的必要条件B“lm”是“l”的必要条件ClmlDllm解析：选B很明显llm，lm / l，lm / l，l / lm，故选B.4设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Bq：axa1，p是q的充分不必要条件，或解得0a.5已知关于x的方程(1a)x2(a2)x40(aR)，则该方程有两个正根的充要条件是_解析：方程(1a)x2(a2)x40有两个实根的充要条件是即设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是1a2或a10.答案：(1,210，)6已知“1k0，解得1k1，所以10.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：q是p的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件对于p，依题意，知(2a)244(2a5)4(a28a20)0，2a10.设Pa|2a10，Qa|1ma1m，m0，由题意知PQ，或解得m9，实数m的取值范围是9，)8已知数列an的前n项和Sn(n1)2l.(1)证明：l1是an是等差数列的必要条件(2)试问：l1是否为an是等差数列的充要条件？请说明理由解：(1)证明：a1S14l，当n2时，anSnSn12n1.a25，a37.an是等差数列，则2a2a1a3，即25(4l)7，解得l1.故l1是an是等差数列的必要条件(2)当l1时，Sn(n1)21，a1S13，当n2时，anSnSn12n1.又a13适合上式，an2n1(nN*)又an1an2，an是公差为2，首项为3的等差数列l1是an是等差数列的充分条件又由(1)知l1是an是等差数列的必要条件，l1是an是等差数列的充要条件
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