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第三节 函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x) f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期小题体验1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)_.答案：22若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.答案：13若函数f(x)(a1)x2(a1)xa21是奇函数，则实数a的值是_解析：由于函数f(x)的定义域为R，又函数f(x)是奇函数，故f(0)0，解得a1或a1(舍去)，经检验a1时符合题意答案：11判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)或f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性小题纠偏1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab_.解析：因为f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，所以a12a0，所以a.又f(x)f(x)，所以b0，所以ab.答案：2函数f(x)的奇偶性为_解析：因为x0，故f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，所以f(x)log2xf(x)当x0时，x0，所以f(x)log2(x)f(x)故f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数答案：偶函数题组练透判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)(易错题)f(x)解：(1)因为由得x1，所以f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)所以f(x)既是奇函数又是偶函数(2)因为函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)因为f(x)的定义域为R，所以f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)因为由得2x2且x0.所以f(x)的定义域为2,0)(0,2，所以f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数谨记通法判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性典例引领设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)f(1)f(2)f(2 018)解：(1)证明：因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)所以f(x)是周期为4的周期函数(2)因为f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)1.又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0.所以f(0)f(1)f(2)f(2 018)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(0)f(1)f(2)1.由题悟法1判断函数周期性的2个方法(1)定义法(2)图象法2周期性3个常用结论(1)若f(xa)f(x)，则T2a.(2)若f(xa)，则T2a.(3)若f(xa)，则T2a(a0)即时应用1(2018镇江调研)已知f(x)是定义在R上周期为4的函数，且f(x)f(x)0，当0x2时，f(x)2x1，则f(21)f(16)_.解析：由f(x)f(x)0，知f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又f(x4)f(x)，且当0x2时，f(x)2x1，f(21)f(16)f(1)f(0)f(1)(211)1.答案：12已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为_解析：因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，所以f(3)f(5)0.故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.答案：7 锁定考向函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主多以填空题形式出现常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合 题点全练角度一：奇偶性的应用1(2018连云港模拟)函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2x，则当x0时，f(x)_.解析：x0时，x0，因为x0时，f(x)2x，所以当x0时，f(x)2x.因为f(x)是R上的奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)2x.答案：2x角度二：单调性与奇偶性结合2已知函数f(x)是奇函数，且函数f(x)在区间1，a2上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：当x0时，x0，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，x0，所以m2，所以f(x)的单调递增区间为1，1，因此1，a21,11a211a3.答案：(1,3角度三：周期性与奇偶性结合3(2019江阴期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x2)，当1x2时f(x)x2，则f(6.5)_.解析：f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期为4.f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)，f(6.5)f(1.5)f(1.5)0.5.答案：0.5角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，对任意xR，f(x1)f(x1)成立，当x(0,1)且x1x2时，有0，给出下列命题：f(1)0；f(x)在区间2,2上有5个零点；点(2 018,0)是函数yf(x)图象的一个对称中心；直线x2 018是函数yf(x)图象的一条对称轴则正确命题的序号为_解析：在f(x1)f(x1)中，令x0，得f(1)f(1)，又f(1)f(1)，2f(1)0，f(1)0，故正确；由f(x1)f(x1)，得f(x)f(x2)，f(x)是周期为2的周期函数，f(2)f(0)0，又当x(0,1)且x1x2时，有0，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，可作出函数f(x)的大致图象如图所示由图知正确，不正确，故正确命题的序号为.答案：通法在握函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解演练冲关1(2018启东中学月考)已知函数f(x)在定义域2a,3上是偶函数，在0,3上单调递减，且ff(m22m2)，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)在定义域2a,3上是偶函数，所以2a30，所以a5，所以ff(m22m2)，即f(m21)f(m22m2)由题意知偶函数f(x)在 3,0上单调递增，而m210，m22m2(m1)210，所以由f(m21)f(m22m2)，得解得1m.答案：2设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2 018)_.解析：设0x2，则2x0，f(x)axb.f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(x)f(x)ax1axb，所以b1.而f(2)f(24)f(2)，所以 2a12a1，解得a，所以f(2 018)f(2)210.答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通中学高三测试)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1)2，那么f(0)f(1)_.解析：因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(1)f(1)2，f(0)0，所以f(0)f(1)2.答案：22(2018南京三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x2，则不等式f(x1)2的解集是_解析：偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(2)2.所以f(x1)2，即f(|x1|)f(2)，即|x1|2，所以1x3.答案：1,33函数f(x)x1，f(a)3，则f(a)_.解析：由题意得f(a)f(a)a1(a)12.所以f(a)2f(a)1.答案：14函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_.解析：因为f(x)为奇函数，x0时，f(x)1，所以当x0时，x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(1)1.答案：15(2019连云港高三测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x) x，则f(2log35)_.解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(2log35)f(2log35)，由于当x0时，f(x)x，故f(2log35)f.答案：6(2018南通一调)若函数f(x)(a，bR)为奇函数，则f(ab)_.解析：法一：因为函数f(x)为奇函数，所以即解得经验证a1，b2满足题设条件，所以f(ab)f(1)1.法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，由题意知，当x0，二次函数的图象顶点坐标为，当x0，二次函数的图象顶点坐标为(1，a)，所以解得a1，b2，经验证a1，b2满足题设条件，所以f(ab)f(1)1.答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1(2018抚顺期末)设f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为_解析：f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，2b3b0，b3，f(x)是定义在6,6上的偶函数，且在6,0上为增函数，f(x)在0,6上为减函数，由f(x1)f(3)，得|x1|3，解得2x4，f(x1)f(3)的解集为x|2x4答案：x|2x42(2019常州一中模拟)设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)1，且当x1,2时，f(x)2x，则f(2 018.5)_.解析：由f(x1)f(x)1在R上恒成立，得f(x1)f(x)1，两式相减得f(x1)f(x1)0，即f(x1)f(x1)恒成立，故函数f(x)的周期是2，f(2 018.5)f(0.5)f(1.5)，又当x1,2时，f(x)2x，f(2 018.5)f(1.5)21.50.5.答案：0.53已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数若f(2x1)f(1)0，则x的取值范围是_解析：函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数，函数f(x)在区间2,2上是单调减函数f(2x1)f(1)0，即f(2x1)f(1)，f(2x1)f(1)则解得1x.x的取值范围是.答案：4(2018泰州期末)设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xln，记anf(n5)，则数列an的前8项和为_解析：数列an的前8项和为f(4)f(3)f(3)f(4)(f(3)f(3)(f(2)f(2)(f(1)f(1)f(0)f(4)f(4)16.答案：165(2018徐州期中)已知函数f(x)exex1(e为自然对数的底数)，若f(2x1)f(4x2)2，则实数x的取值范围为_解析：令g(x)f(x)1exex，则g(x)为奇函数，且在R上单调递增因为f(2x1)f(4x2)2，所以f(2x1)1f(4x2)10，即g(2x1)g(4x2)0，所以g(2x1)g(x24)，即2x1x24，解得x(1,3)答案：(1,3)6(2019镇江中学测试)已知奇函数f(x)在定义域R上是单调减函数，若实数a满足 f(2|2a1|)f(2)0，则a的取值范围是_解析：由f(2|2a1|)f(2)0，可得f(2|2a1|)f(2)因为f(x)为奇函数，所以f(2|2a1|)f(2)因为f(x)在定义域R上是单调减函数，所以2|2a1|2，即|2a1|，解得a.答案：7(2019苏州调研)已知奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则不等式0的解集为_解析：由0，可得或因为奇函数f(x)在(，0)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递减，且f(2)f(2)0，所以当x1时，f(x)0的解集为(1,2)；当x1时，f(x)0的解集为(2,0)所以不等式0的解集为(2,0)(1,2)答案：(2,0)(1,2)8函数f(x)在R上满足f(x)f(x)，当x0时，f(x)ex1mcos(x)，记af()，bf，cef(e)，则a，b，c的大小关系为_解析：函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)ex1mcos(x)，f(0)11m0，即m0，f(x)ex1(x0)令g(x)xf(x)，有g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)，函数g(x)为偶函数，当x0时，g(x)xf(x)x(1ex)，g(x)f(x)xf(x)1(1x)ex0，函数g(x)在0，)上为减函数，af()g()g()，bfgg，cef(e)g(e)，又e，bac.答案：bac9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,310(2018大同期末)已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，其中a0，a1.(1)求函数F(x)f(x)g(x)的定义域；(2)判断F(x)f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)当a1时，求使F(x)0成立的x的取值范围解：(1)F(x)f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，解得1x1，函数F(x)的定义域为(1,1)(2)F(x)为(1,1)上的奇函数理由如下：由(1)知F(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称，F(x)loga(x1)loga(1x) loga(x1)loga(1x)F(x)，函数F(x)为(1,1)上的奇函数(3)根据题意，F(x)loga(x1)loga(1x)，当a1时，由F(x)0，得loga(x1)loga(1x)，即解得0x1，故x的取值范围为(0,1)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019南通模拟)已知定义在R上的奇函数yf(x)满足f(2x)f(2x)，当2x0时，f(x)2x，若anf(n)(nN*)，则a2 018_.解析：f(2x)f(2x)，以2x代替上式中的x，得f(4x)f(x)，又函数yf(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，f(4x)f(x)f(x)，再以4x代替上式中的x，得f(8x)f(4x)f(x)，函数f(x)的周期为8.a2 018f(2 018)f(25282)f(2)，而f(2)f(2)，a2 018.答案：2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值解：(1)由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以a0.
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