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3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念及其代数形式.3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题知识点一对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如x210，为此，人们引进一个新数i，并且规定：(1)它的平方等于1，即i21；(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立知识点二复数的概念与分类思考为解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数梳理(1)复数定义：把集合Cabi|a，bR中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母C表示知识点三两个复数相等的充要条件思考由42能否推出4i2i?答案不能当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小梳理在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.知识点四复数的分类(1)复数(abi，a，bR)(2)集合表示：1若a，b为实数，则zabi为虚数()2复数zbi是纯虚数()3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()类型一数系的扩充与复数的概念例1(1)在2，i,0,85i，(1)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A0B1C2D3(2)给出下列四个命题：若zC，则z20；2i1的虚部是2i；复数34i的实部与复数43i的虚部相等；若aR，则(a1)i是纯虚数其中真命题的个数为()A0B1C2D3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)C(2)A解析(1)i，(1)i为纯虚数；2，0,0.618是实数；85i是虚数(2)对于，当zR时，z20成立，否则不一定成立，如zi，z210；z的虚部为i.A1B2C3D0考点复数的概念题点复数的概念及分类答案A解析易知正确，错误，故选A.2下列各数中，纯虚数的个数是()2，i，i2,5i8，i213i,0.618ai(aR)A0B1C2D3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案C解析由纯虚数的定义知，i，i213i3i是纯虚数3复数z1sin2icos，z2cosisin(R)，若z1z2，则等于()Ak(kZ) B2k(kZ)C2k(kZ) D2k(kZ)考点复数相等题点复数相等的条件答案D解析由复数相等的充要条件可知，cos，sin，2k，kZ，故选D.43i27i的实部为_，虚部为_考点复数的概念题点求复数的实部与虚部答案37解析3i27i37i，实部为3，虚部为7.5已知复数zm(m21)i(mR)满足z0，则m_.考点复数的概念题点复数的概念及分类答案1解析z0，z为实数且小于0，解得m1.1对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断一、选择题1对于复数abi(a，bR)，下列说法正确的是()A若a0，则abi为纯虚数B若a(b1)i32i，则a3，b3C若b0，则abi为实数D1的平方等于i考点复数的概念题点复数的概念及分类答案C解析对于A，当a0时，abi也可能为实数；对于B，若a(b1)i32i，则a3，b1；对于D,1的平方仍为1.故选C.2i是虚数单位，ii2i3等于()A1B1CiDi考点虚数单位i及其性质题点虚数单位i的运算性质答案A解析ii2i3i1i1.3已知复数z113i的实部与复数z21ai的虚部相等，则实数a等于()A3B3C1D1考点复数相等题点复数相等的条件答案C解析易知13i的实部为1，1ai的虚部为a，则a1.4复数i的虚部为()A2BC2D0考点复数的概念题点求复数的实部与虚部答案C5复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为实数的充要条件是()A|a|b|Ba0且abDa0考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案D解析复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，得a0，故选D.6若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1B2C1或2D1考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案B解析因为复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，所以解得a2.7已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实数根n，且zmni，则复数z等于()A3iB3iC3iD3i考点复数相等题点利用复数相等解决一元二次方程答案B解析由题意知n2(m2i)n22i0，即解得z3i.8若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A.B2C0D1考点复数相等题点复数相等的条件答案D解析由复数相等的充要条件知，解得xy0.2xy201.二、填空题9若43aa2ia24ai，则实数a的值为_考点复数相等题点复数相等的条件答案4解析易知解得a4.10已知实数a，x，y满足a22a2xy(axy)i0，则点(x，y)的轨迹方程是_考点复数相等题点复数相等的条件答案(x1)2(y1)22解析由复数相等的充要条件知，消去a，得x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.11设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案2解析由解得m2.三、解答题12当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)当即m2时，复数z是实数(2)当m22m0且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数13已知复数za21(a23a2)i，aR.(1)若z是纯虚数，求a的值；(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，求a的取值范围考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解复数za21(a23a2)i，aR.(1)若z是纯虚数，可得a210，a23a20，解得a1.(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，可得a21a23a20，解得a1或a且a2.所以a的取值范围为(1,2)(2，)四、探究与拓展14已知(mn)(m23m)i1，且mR，nN*，则mn_.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案1或2解析由题意得由，得m0或m3.当m0时，由(mn)1，得0n2，n1或n2.当m3时，由(mn)1，得0n32，3n1，即n无正整数解m，n的值分别为m0，n1或m0，n2.故mn的值为1或2.15已知关于x的方程x2(12i)x(3mi)0有实根，求实数m的值考点复数相等题点由复数相等解决一元二次方程问题解设a为方程的一个实数根，则有a2(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)i0.由复数相等的充要条件得解得故实数m的值为.
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