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专题09 向量的基本应用 一、基础过关题1.（2018上海高考）在平面直角坐标系中，已知点、，E、F是y轴上的两个动点，且，则的最小值为_【答案】据题意可设，从而得出，即，或，并可求得，将带入上式即可求出的最小值，同理将带入，也可求出的最小值考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式2(2015课标全国)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.【答案】 【解析】 向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.3.(2016滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_. 【答案】 4已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于( )A. B. C1 D2【答案】 B【解析】 ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，故选B.5(2017淮南质检)已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为( )A(，5) B(，5)C(，5) D(，5)【答案】 D【解析】 (2,3)(3,7)(1,10)，(，5)，(，5)6若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|等于( )A2 B2C4 D12【答案】 B【解析】 |ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 604422212，|ab|2.7(2016山西四校二联)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b夹角的正弦值为( )A B C. D.【答案】 D 8. 如图，在ABC中，若|，AB2，AC1，E，F为BC边的三等分点，则等于( ) A. B. C. D.【答案】 B【解析】 若|，则222222，即有0.E，F为BC边的三等分点，则()()22(14)0.故选B.9在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足2，则()的值为_【答案】 4【解析】 由题意得，AP2，PM1，所以()2221cos 1804. 10(2016江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则_. 【答案】 4 11已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标【答案】(1) ab2.(2) 点C的坐标为(5，3)【解析】(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)12已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积【答案】(1) . (2) |ab|.(3) SABC3. (2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433. 二、能力提高题1.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为( ) A1 B2C3 D4【答案】 B【解析】 O为BC的中点，()(mn)，M，O，N三点共线，1，mn2. 2.设G为ABC的重心，且sin Asin Bsin C0，则角B的大小为_【答案】 60 3在ABC中， 3，ABC的面积S，则与夹角的取值范围是_【答案】 ，【解析】 由三角形面积公式及已知条件知SABCABBCsin B，所以ABBCsin B3，由3，知ABBCcos(B)3，所以ABBC，代入得，3，所以1tan B，所以B，而与的夹角为B，其取值范围为，4.如图所示，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线 (1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值【答案】 (1) (1)；(2) 3(定值) (2)证明 一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，().由得3(1)33(定值)
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