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导数的热点问题1在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为31(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)(1)求y关于v的函数关系式； (2)若cv15(c0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少(2)y，令y0，得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增，当0c10时，函数在(c,10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时总用氧量最少，当c10时，y在c,15上单调递增，当vc时总用氧量最少综上，若0ce2.(1)【解析】由定义域为(0,1)(1，)，f(x)，设h(x)x2(a2)x1，要使yf(x)在上有极值，则x2(a2)x10有两个不同的实根x1，x2，(a2)240，a0或ae，0x1ex2，又h(0)1，只需h0，即(a2)1e2，联立可得ae2.即实数a的取值范围是.(2)证明由(1)知，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在(1，)上有最小值f(x2)，即t(1，)，都有f(t)f(x2)，又当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)e)，则k(x)10(xe)，k(x)在上单调递增，k(x)k(e)2e，f(t)f(s)e2. 3已知函数f(x)(2x1)ln(2x1)a(2x1)2x(a0)(1)如图，设直线x，yx将坐标平面分成，四个区域(不含边界)，若函数yf(x)的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；(2)当a时，求证：x1，x2(0，)且x1x2，有f(x1)f(x2)2f.(1)【解析】函数f(x)的定义域为，且当x0时，f(0)a0.又直线yx恰好通过原点，函数yf(x)的图象应位于区域内，于是可得f(x)x，即(2x1)ln(2x1)a(2x1)2x0，a.令h(x)，则h(x).当x时，h(x)0，h(x)单调递增；当x时，h(x)0时，时，8a4，u(x)8a0时，f(x)为减函数，不妨设x2x10，令g(x)f(x)f(x1)2f(xx1)，可得g(x1)0，g(x)f(x)f，x且f(x)是(0，)上的减函数，g(x)x1时，g(x)为减函数，g(x2)g(x1)0，即f(x1)f(x2)g(x)(2)证明易得f(x)，则由题意，得feae2e，解得a.f(x)ln x，从而f1，即切点为.将切点坐标代入exy2b0中，解得b0.g(x)ex.要证f(x)g(x)，即证ln xex(x(0，)，只需证xln xxex(x(0，)令u(x)xln x，v(x)xex，x(0，)则由u(x)ln x10，得x，u(x)在上单调递减，在上单调递增，u(x)minu.又由v(x)exxexex(1x)0，得x1，v(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，v(x)maxv(1).u(x)u(x)minv(x)maxv(x)，显然，上式的等号不能同时取到故对任意的x(0，)，总有f(x)g(x)5已知函数g(x)xln x，h(x)(a0)(1)若g(x)h(x)对x(1，)恒成立，求a的取值范围；(2)证明：不等式e对于正整数n恒成立，其中e2.718 28为自然对数的底数(1)【解析】方法一记f(x)g(x)h(x)xln xx2，令(x)f(x)ln x1ax，则(x)a，当a1时，x(1，)，(x)a1a0，f(x)在(1，)上单调递减，又f(1)1a0，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递减，此时，f(x)f(1)0，即g(x)h(x)，a1.当0aaa0，f(x)在上单调递增，又f(1)1a0，f(x)0，即f(x)在上单调递増，f(x)f(1)0，不满足题意综上所述，a1，)方法二当x(1，)时，g(x)，令F(x)(x1)，F(x)(x1)，记m(x)x1xln x(x1)，则m(x)ln x0，m(x)在(1，)上单调递减，m(x)m(1)0，F(x)0，即F(x)在(1，)上单调递减，F(x)F(1)1，故a1，)(2)证明由(1)知取a1，当x(1，)时，g(x)h(x)恒成立，即xln x恒成立，即ln x恒成立，即ln(1x)对于x(0，)恒成立，由此，ln，kN*，于是lnlnlnln，故0.(1)求函数f(x)在区间(0，)上的零点个数；(2)函数F(x)的导数F(x)f(x)，是否存在无数个a(1,4)，使得ln a为函数F(x)的极大值点？请说明理由(2)方法一当a1时，ln a0.因为当x时，exa0.由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0.下面证：当a时，ln ax0，即证f0，所以g(x)在上单调递增，由g(1)0，所以存在唯一零点t0，使得g0，且x时，g(x)0，g(x)单调递增所以当x时，g(x)max.由g(1)0，g(e)0，得当x时，g(x)0.故f0,0ln ax0.当0xln a时，exa0，f(x)0，F(x)单调递增；当ln ax0，f(x)0，F(x)f(x)0，F(x)单调递减所以存在a(1,4)，使得ln a为F(x)的极大值点方法二因为当x时，exa0.由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0.所以存在无数个a(1,4)，使得ln a为函数F(x)的极大值点，即存在无数个a(1,4)，使得ln ax0成立，由(1)，问题等价于存在无数个a(1,4)，使得f0，所以g(x)在上单调递增，因为gln0，所以存在唯一零点t0，使得g0，且当x时，g(x)0，g(x)单调递增；所以当x时，g(x)mingt0ln t0t01，由g0，可得ln t0，代入式可得g(x)mingt01，当t0时，gt010，所以必存在x，使得g(x)0，即对任意a，f1，求证：f(x)ax2x1ln(x1)(1)【解析】当ae时，f(x)x(exe)当x(，0)时，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)极小值f(0)1，无极大值(2)【解析】f(x)x(exa)，()当a0时，f(x)(x1)ex，只有一个零点x1，()当a0时，exa0，当x(，0)时，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)极小值f(0)1，而f(1)0，当x0时，函数f(x)在(0,1)上存在一个零点，当x0时，exx1，f(x)(x1)exax2x1ax2ax2x1，令g(x)ax2x1，x1是g(x)0的一个根，取x10，f(x1)f(0)0，当x0时，函数f(x)在(x1,0)上存在一个零点，函数f(x)有两个零点()当a0，即a1时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，0)0(0，ln(a)ln(a)(ln(a)，)f(x)00f(x)1f(x)极大值f(0)1，函数f(x)至多有一个零点，不合题意，当ln(a)0，即a1时，f(x)在(，)上单调递增，f(x)至多有一个零点，不合题意当ln(a)0，即1a0时，当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，ln(a)ln(a)(ln(a)，0)0(0，)f(x)00f(x)1x0，a0时，f(x)(x1)exax20，h(x)为(1，)上的增函数，h(2)e210，取x1e2，x1e2，h(1e2)e20，存在唯一的x0(1,2)使h(x0)0，即，当x(1，x0)时，h(x)0，g(x)0，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(x0)(x01) ln(x01)x01(x01)ln x011x0x010，对x1，g(x)g(x0)0，即f(x)ax2x1ln(x1)8.已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数(1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0,1)上是增函数；(2)证明：in 0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值 (1)证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，G(x)acos(1x)(x0)，当x(0,1)，01,0cos(1x)1，acos(1x)0，故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数(3)【解析】由对任意的x0，m0恒成立，即当x(0，)时，Fmin0.又设h(x)Fex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增，又h(0)0，则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，F(x)F(x0)mx2x0b20，则bmx2x02，又2mx020，m，bx2x02x02，又mx02，x0(0，ln 2)恒成立，令m(x)exx2，x(0，ln 2)，则m(x)(x1)ex1，令n(x)(x1)ex1，则n(x)xex0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)m(0)0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1,1)都成立令g(x)(x1)，则g(x)10.所以g(x)(x1)在(1,1)上单调递增所以g(x)0，所以x2(a2)xa0对xR都成立所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减 10已知函数f(x)2lnxx22ax(a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，且f(x1)f(x2)2ln2恒成立，求a的取值范围【解析】(1)由题意知，函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)，令x2ax10，则a24，当02时，0，方程x2ax10有两个不同的实根，分别设为x3，x4，不妨令x3x4，则x3，x4，此时0x30，当x(x3，x4)时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上，当02时f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增(2)由(1)得f(x)在(x1，x2)上单调递减，x1x2a，x1x21，则f(x1)f(x2)2ln(x1x2)(x1x22a)2ln2ln，令t，则0t1，f(x1)f(x2)2lntt，令g(t)2lntt(0t1)，则g(t)0，故g(t)在(0,1)上单调递减且g2ln2，故g(t)f(x1)f(x2)2ln2g，即0t，而a2(x1x2)22t2，其中0t，令h(t)t2，t，所以h(t)10在t上恒成立，故h(t)t2在上单调递减，从而a2，故a的取值范围是.
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