资源描述
08数列求和的方法1.已知数列5,6,1,-5,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于().A.5B.6C.7D.16解析根据题意得这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=26+4,所以这个数列的前16项之和S16=20+7=7.故选C.答案C2.已知在等差数列an中,|a3|=|a9|,公差dS6B.S5S6C.S6=0D.S5=S6解析d0,a90,a70,前n项和为Sn,a2,a4是方程x2-10x+21=0的两个根.(1)求证:1S2+1S3+1Snn(n-1),1S2+1S3+1Sn112+123+1n(n-1)=1-12+12-13+1n-1-1n=1-1n0,a1=4,1an-1an+1=2an+2,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(-1)n(log2an)2,求数列bn的前2n项和T2n.解析(1)设等比数列an的公比为q,则q0.由a1=4,1an-1an+1=2an+2,得1a1qn-1-1a1qn=2a1qn+1,解得q=2,所以an=42n-1=2n+1.(2)bn=(-1)n(log2an)2=(-1)n(log22n+1)2=(-1)n(n+1)2.设cn=n+1,则bn=(-1)ncn2.故T2n=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=-c12+c22+(-c32)+c42+(-c2n-12)+c2n2=(-c1+c2)(c1+c2)+(-c3+c4)(c3+c4)+(-c2n-1+c2n)(c2n-1+c2n)=c1+c2+c3+c4+c2n-1+c2n=2n2+(2n+1)2=n(2n+3)=2n2+3n.能力2会用错位相减法求和【例2】设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)因为2Sn=3n+3,所以当n=1时,2a1=3+3,即a1=3;当n1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1.所以an=3,n=1,3n-1,n1.(2)因为anbn=log3an,所以当n=1时,b1=13;当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=13.当n1时,Tn=b1+b2+b3+bn=13+13-1+23-2+(n-1)31-n,所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n.两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=23+1-31-n1-3-1-(n-1)31-n=136-2n+123n-1,所以Tn=1312-2n+143n-1.经检验,当n=1时也适合上式.故Tn=1312-2n+143n-1.(1)一般地,若数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和,则可以采用错位相减法求和.一般是先将和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.设数列an是公差大于0的等差数列,其前n项和为Sn.已知S3=9,且2a1,a3-1,a4+1构成等比数列.(1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足anbn=2n-1(nN*),设Tn是数列bn的前n项和,证明:Tn0.S3=9,a1+a2+a3=3a2=9,即a2=3.又2a1,a3-1,a4+1成等比数列,(2+d)2=2(3-d)(4+2d),解得d=2,a1=1,an=1+(n-1)2=2n-1.(2)由anbn=2n-1,得bn=2n-12n-1=(2n-1)12n-1,则Tn=1120+3121+(2n-1)12n-1,12Tn=1121+3122+(2n-3)12n-1+(2n-1)12n,两式相减得12Tn=1+2121+2122+212n-1-(2n-1)12n=1+1-12n-11-12-2n-12n=3-2n+32n,故Tn=6-2n+32n-1.nN*,Tn=6-2n+32n-16.能力3会用裂项相消法求和【例3】设数列an的前n项和为Sn,对任意正整数n都有6Sn=1-2an.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=log12an,Tn=1b12-1+1b22-1+1bn2-1,求Tn.解析(1)由6Sn=1-2an,得6Sn-1=1-2an-1(n2).两式相减得6an=2an-1-2an,即an=14an-1(n2).由6S1=6a1=1-2a1,得a1=18.数列an是等比数列,公比q=14,an=1814n-1=122n+1.(2)an=122n+1,bn=2n+1,从而1bn2-1=14n(n+1)=141n-1n+1.Tn=141-12+12-13+1n-1n+1=141-1n+1=n4(n+1).(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.若bn为等比数列,数列an满足:对任意的nN*,有a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2.已知a1=1,a2=2.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)求数列1anan+1的前n项和Sn.解析(1)由题意可得a1b1=2,a1b1+a2b2=10,解得b1=2,b2=4,bn=2n.又由题意得,当n2时,anbn=(a1b1+a2b2+anbn)-(a1b1+a2b2+an-1bn-1)=n2n,an=n,此式对n=1也成立,数列an的通项公式为an=n.(2)由(1)可知,1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1,Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.能力4会求等差、等比数列中关于绝对值的求和问题【例4】在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解析(1)由题意得a15a3=(2a2+2)2.又由a1=10,an是公差为d的等差数列,得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.所以an=-n+11(nN*)或an=4n+6(nN*).(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,所以由(1)得d=-1,an=-n+11,所以当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-12n2+212n;当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-12n2+212n,n11,12n2-212n+110,n12.根据等差数列的通项公式及d0,确定an的符号,从而去掉绝对值符号,这需要对n的取值范围进行分类讨论.已知数列an满足a1=-2,an+1=2an+4.(1)证明:数列an+4是等比数列.(2)求数列|an|的前n项和Sn.解析(1)a1=-2,a1+4=2.an+1=2an+4,an+1+4=2an+8=2(an+4),an+1+4an+4=2,an+4是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)可知an+4=2n,an=2n-4.当n=1时,a1=-20,S1=|a1|=2;当n2时,an0,Sn=-a1+a2+an=2+(22-4)+(2n-4)=2+22+2n-4(n-1)=2(1-2n)1-2-4(n-1)=2n+1-4n+2.又当n=1时,也满足上式,Sn=2n+1-4n+2.一、选择题1.已知数列an,bn满足anbn=1,an=n2+3n+2,则bn的前10项之和为().A.13B.512C.12D.712解析bn=1an=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,S10=b1+b2+b3+b10=12-13+13-14+14-15+111-112=12-112=512,故选B.答案B2.若数列an的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则它的前100项之和S100等于().A.200B.-200C.400D.-400解析S100=(41-3)-(42-3)+(43-3)-(4100-3)=4(1-2)+(3-4)+(99-100)=4(-50)=-200,故选B.答案B3.已知等差数列an的公差为d,且an0,d0,则1a1a2+1a2a3+1anan+1可化简为().A.nda1(a1+nd)B.na1(a1+nd)C.da1(a1+nd)D.n+1a1a1+(n+1)d解析1anan+1=1d1an-1an+1,原式=1d1a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=1d1a1-1an+1=na1an+1=na1(a1+nd),故选B.答案B4.根据科学测算,运载神舟飞船的长征系列火箭,在点火后一分钟上升的高度为1 km,以后每分钟上升的高度增加2 km,在达到离地面240 km高度时船箭分离,则从点火到船箭分离大概需要的时间是().A.20分钟B.16分钟C.14分钟D.10分钟解析设火箭每分钟上升的高度组成一个数列an,显然a1=1,而an-an-1=2(n2),所以可得an=1+2(n-1)=2n-1.所以Sn=n(a1+an)2=n2=240,所以从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟.故选B.答案B5.数列112,314,518,7116,(2n-1)+12n,的前n项和Sn的值等于().A.n2+1-12nB.2n2-n+1-12nC.n2+1-12n-1D.n2-n+1-12n解析该数列的通项公式为an=(2n-1)+12n,则Sn=1+3+5+(2n-1)+12+122+12n=n2+1-12n,故选A.答案A6.设等差数列an的前n项和为Sn,Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,其中mN*且m2,则数列1anan+1的前n项和的最大值为().A.24143B.1143C.2413D.613解析由题意可得am=Sm-Sm-1=-13,am+1=Sm+1-Sm=-15,故公差d=am+1-am=-2.由Sm=ma1+m(m-1)d2=0,可得a1-m=-1.又由am=a1+(m-1)d=-13,可得a1-2m=-15.所以a1=13,m=14,an=15-2n,故Tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=1d1a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=-12113-113-2n=-126+12(13-2n),可知当n=6时,Tn取得最大值613,故选D.答案D7.数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+2n-1),的前n项之和Sn为().A.2n-1B.n2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-2解析an=1+2+22+2n-1=2n-1,Sn=2(2n-1)2-1-n=2n+1-2-n,故选D.答案D8.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,即此数列第一组是20,接下来第二组的两项是20,21,再接下来第三组的三项是20,21,22,依此类推.设Sn是此数列的前n项和,则S2019=().A.264-58B.264-56C.263-58D.263-56解析该数列第一组有一项,其和为20;第二组有两项,其和为20+21;第n组有n项,其和为20+21+2n-1=2n-1.前63组共有63642=2016项.S2019=20+(20+21)+(20+21+262)+20+21+22=(21-1)+(22-1)+(263-1)+7 =(21+22+263)-(1+1+1)+7=2(1-263)1-2-63+7=264-58,故选A.答案A9.我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步如下:第一步,构造数列1,12,13,14,1n;第二步,将数列的各项乘以n2,得到一个新数列a1,a2,a3,an.则a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=().A.n24B.(n+1)24C.n(n-1)4D.n(n+1)4解析由题意知,所得新数列为1n2,12n2,13n2,1nn2,所以a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=n24112+123+134+1(n-1)n=n241-12+12-13+13-14+1n-1-1n=n241-1n=n(n-1)4,故选C.答案C二、填空题10.已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),则其前2019项和S2019=.解析依题意,得an+1an=2n,an+1an+2=2n+1,则an+1an+2anan+1=2,即an+2an=2,所以数列a1,a3,a5,a2k-1,是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,a2k,是以a2=2为首项,2为公比的等比数列.则S2019=(a1+a3+a5+a2019)+(a2+a4+a6+a2018)=1-210101-2+2(1-21009)1-2=221010-3=21011-3.答案21011-311.若数列an是正项数列,且a1+a2+a3+an=n2+n,则a1+a22+ann=.解析由数列an是正项数列,且a1+a2+a3+an=n2+n,可得a1=4,a1+a2+an-1=(n-1)2+(n-1)(n2),由-可得an=2n,即an=4n2,ann=4n(n2).则a1+a22+ann=4(1+2+3+n)=2n2+2n(n2),当n=1时,a1=4,上述等式也成立.故a1+a22+ann=2n2+2n.答案2n2+2n12.已知数列an是等差数列,Sn为其前n项和,若a1=9,a2Z,SnS4,则nSn的最大值为.解析设数列an的公差为d.由题意可得a50,a40,即9+4d0,9+3d0,则-3d-94.又因为a2=a1+d为整数,所以dZ,即d=-3,此时an=9-3(n-1)=12-3n,Sn=-32n2+212n.令f(n)=nSn=-32n3+212n2,nN*,则f(x)=-32x3+212x2,f(x)=-92x2+21x.由f(x)=0,可得x=0或x=143,则f(n)的最大值在f(4),f(5)中取得.又f(4)=72,f(5)=75,所以当n=5时,f(n)取得最大值75.答案75三、解答题13.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)2.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn为数列bn的前n项和,其中bn=an+12SnSn+1,求Tn.解析(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n,当n=1时,a1=S1=1也符合上式,an=n.(2)(法一)bn=an+12SnSn+1=Sn+1-Sn2SnSn+1=121Sn-1Sn+1,Tn=121S1-1S2+1S2-1S3+1Sn-1Sn+1=121S1-1Sn+1=121-2(n+1)(n+2)=n2+3n2(n+1)(n+2).(法二)bn=n+12n(n+1)2(n+1)(n+2)2=2n(n+1)(n+2)=1n(n+1)-1(n+1)(n+2),Tn=12-16+16-112+1n(n+1)-1(n+1)(n+2)=12-1(n+1)(n+2)=n2+3n2(n+1)(n+2).
展开阅读全文