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第九讲空间几何体的三视图、表面积与体积1.(2018甘肃第二次诊断检测)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图是(用代表图形)()A.B.C.D.2.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是()3.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为()A.12B.22C.24D.144.(2018河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图,则它的侧视图为()5.(2018重庆六校联考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()A.13B.12C.1D.326.(2018安徽合肥质量检测)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.5+18B.6+18C.8+6D.10+67.(2018云南昆明调研)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A.63B.72C.79D.998.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,则点B到平面D1AC的距离等于()A.33B.63C.1D.29.(2018课标全国,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.8310.(2018山西太原模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最长的棱的长为()A.33B.26C.21D.2511.(2018湖北武汉调研)已知底面半径为1,高为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.32327B.4C.163D.1212.(2018吉林长春监测)已知矩形ABCD的顶点都在球心为O,半径为R的球面上,AB=6,BC=23,且四棱锥O-ABCD的体积为83,则R等于()A.4B.23C.479D.1313.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.14.(2018河北石家庄质量检测)直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=5,BC=7,AA1=2,则此球的表面积为.15.(2018辽宁沈阳质量监测)已知在正四棱锥S-ABCD中,SA=63,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为.16.(2018福建福州模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为.答案精解精析1.B正视图应为相邻边长为3和4的长方形,且正视图中从右上到左下的对角线应为实线,故正视图为;侧视图应为相邻边长为4和5的长方形,且侧视图中从左上到右下的对角线应为实线,故侧视图为;俯视图应为相邻边长为3和5的长方形,且俯视图中从左上到右下的对角线应为实线,故俯视图为,故选B.2.C由题意知,四棱锥的直观图以及三视图的可能情况为下列四种之一.显然只有选项C的图形与图(4)一致.3.D由三棱锥C-ABD的正视图、俯视图得三棱锥C-ABD的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形,如图所示,所以三棱锥C-ABD的侧视图的面积为14,故选D.4.A由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个等底等高的圆锥构成的,结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A.5.A将题中三视图还原成直观图,为如图所示的三棱锥A-BCD,且CD=1,BC=2,CDBC,三棱锥的高h=1,则SBCD=1212=1,VA-BCD=13SBCDh=1311=13.故选A.6.C由三视图可知,该几何体由一个半圆柱与两个半球构成,故其表面积为412+12213+21212+32=8+6.故选C.7.A由三视图得,凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体,其中半球半径为3,体积为124333=18,圆柱的底面半径为3,高为5,体积为325=45.所以凿去部分的体积为18+45=63.故选A.8.B如图,连接BD1,易知D1D就是三棱锥D1-ABC的高,AD1=CD1=5,取AC的中点O,连接D1O,则D1OAC,所以D1O=AD12-AO2=3.设点B到平面D1AC的距离为h,因为VB-D1AC=VD1-ABC,即13SD1ACh=13SABCD1D,又SD1AC=12322=6,SABC=12ABBC=1222=2,所以h=63.故选B.9.C如图,连接BC1,由长方体的性质可得AB平面BCC1B1,BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影,AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角,即AC1B=30.在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=23,在RtBCC1中,CC1=BC12-BC2=(23)2-22=22,该长方体的体积V=2222=82,故选C.10.B由三视图得,该几何体是四棱锥P-ABCD,如图所示,ABCD为矩形,AB=2,BC=3,平面PAD平面ABCD,过点P作PEAD交AD于E,则PE=4,DE=2,所以CE=22,所以最长的棱PC=PE2+CE2=26,故选B.11.C如图,ABC为圆锥的轴截面,O为其外接球的球心,设外接球的半径为R,连接OB,OA,并延长AO交BC于点D,则ADBC,由题意知,AO=BO=R,BD=1,AD=3,则在RtBOD中,有R2=(3-R)2+12,解得R=233,所以球O的表面积S=4R2=163,故选C.12.A设球心O到平面ABCD的距离为h,由题意可知VO-ABCD=13S矩形ABCDh=13623h=83,解得h=2,又矩形ABCD所在的截面圆的半径为12AB2+BC2=1262+(23)2=23,从而球的半径R=22+(23)2=4.故选A.13.答案43解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为2,高为1,其体积为13(2)21=23,多面体的体积为43.14.答案2083解析在ABC中,由余弦定理,知cosCAB=52+32-72253=-12,所以sinCAB=32.设ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理知,2r=BCsinCAB=732,所以r=733,设球的半径为R,则R=r2+AA122=523,所以此球的表面积S=4R2=2083.15.答案6解析设正四棱锥的底面正方形的边长为a,高为h,因为在正四棱锥S-ABCD中,SA=63,所以a22+h2=108,即a2=216-2h2,所以正四棱锥的体积VS-ABCD=13a2h=72h-23h3,令y=72h-23h3,则y=72-2h2,令y0,得0h6,令y6,所以当该棱锥的体积最大时,它的高为6.16.答案2+42+23解析由三视图知该几何体为三棱锥,记为三棱锥P-ABC,将其放在棱长为2的正方体中,如图所示,其中ACBC,PAAC,PBBC,PAB是边长为22的等边三角形,故所求表面积为SABC+SPAC+SPBC+SPAB=1222+122222+34(22)2=2+42+23.
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