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第7讲空间中角与距离的计算1如图X871，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B. C. D. 图X871 图X8722(2016年黑龙江哈尔滨六中统测)如图X872，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，BAC，AC4，AA14，M为AA1的中点，P为BM的中点，Q在线段CA1上，A1Q3QC.则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为()A. B. C. D.3如图X873，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是()A. B. C. D. 图X873 图X8744若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A. B. C. D.5已知在矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_6如图X874，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 ，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_7(2017年山东)如图X875，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小图X8758(2017年广东深圳一模)如图X876，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G，ABBD2，AE，EADEAB.(1)证明：平面ACFE平面ABCD；(2)若AE与平面ABCD所成角为60，求二面角BEFD的余弦值图X8769(2016年新课标)如图X877，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到 DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值图X877第7讲空间中角与距离的计算1D2C解析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立如图D156所示的空间直角坐标系，图D156则由题意，得A(0,4,0)，C(0,0,0)，B(4 ，0,0)，M(0,4,2)，A1(0，4,4)，P(2 ，2,1)则(0,4,4)(0,1,1)Q(0,1,1)，(0，4,0)，(2 ，1,0)设异面直线PQ与AC所成角为，cos |cos，|，sin .故选C.3B解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1 与平面ACD1所成角，即DD1O，其正切值是 .4B解析：方法一(间接法)，由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC.故B1DC为直角三角形不妨设棱长为1，则有AD，B1D，DC.设A到平面B1DC的距离为h，则有，hB1DSADC.h.h.设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sin .方法二(向量法)，如图D157，取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系图D157不妨设各棱长为2，则有A(0，1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0,2,1)设直线AD与平面B1DC所成的角为，sin cos A，n.5.解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM，BM，CN，DN，MN1.|2|2|2|2|22()21222(000).|.6.解析：方法一，如图D158，以C为原点建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C1(0,0, 2 )点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.图D158(2,0,2 )，.设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则cos .又，所以.方法二，取A1B1的中点H，连接AH，由题意易知C1H平面ABB1A1，C1AH即为AC1与平面ABB1A1所成的角在RtC1HA中，C1H，C1A2 ，C1AH，即AC1与侧面ABB1A所成角为.7解：(1)因为APBE，ABBE，又AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.(2)方法一，取的中点H，连接EH，GH，CH，如图D159.因为EBC120，所以四边形为BEHC为菱形所以AEGEACGC.取AG中点M，连接EM，CM，EC.则EMAG，CMAG.所以EMC为所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2 .在BEC中，由于EBC120，由余弦定理，得EC22222222cos 12012，所以EC2 .因此EMC为等边三角形故所求的角为60. 图D159 图D160方法二，以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图D160所示的空间直角坐标系由题意，得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.因此所求的角为60.8(1)证明：连接EG，四边形ABCD为菱形，ADAB，BDAC，DGGB.在EAD和EAB中，ADAB，AEAE，EADEAB，EADEAB.EDEB.BDEG.ACEGG，BD平面ACFE.BD平面ABCD，平面ACFE平面ABCD.(2)解：方法一，如图D161，过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，易得EAC为AE与平面ABCD所成的角EAC60.EFGM，EFBD，EF平面BDM，DMB为二面角BEFD的平面角可求得MG，DMBM，在DMB中由余弦定理，可得cos BMD，二面角BEFD的余弦值为. 图D161 图D162方法二，如图D162，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由(1)可知，平面ACFE平面ABCD，MG平面ABCD.直线GM，GA，GB两两互相垂直分别GA，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系Gxyz，易得EAC为AE与平面ABCD所成的角，EAC60.则D(0，1,0)，B(0,1,0)，E，F.则(2，0,0)，.设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.x0，且xyz0.取z2，可得平面BEF的一个法向量为n(0,3,2)同理可求得平面DEF的一个法向量为m(0,3，2)cos n，m.二面角BEFD的余弦值为.9(1)证明：由已知，得ACBD，ADCD.又由AECF，得.故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6，得DOBO4.由EFAC，得.所以OH1，DHDH3.于是OH1，DH2OH2321210DO2.故DHOH.又DHEF，而OHEFH.所以DH平面ABCD.图D163(2)解：如图D163，以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)所以(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可以取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可以取n(0，3,1)于是cosm，n， sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.
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