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中档题保分练(一)1(2018海淀区模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a1，2SnSn11(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)记bnan(nN*)，求的前n项和Tn.解析：(1)当n2时，由2SnSn11及a1，得2S2S11，即2a12a2a11，解得a2.又由2SnSn11，可知2Sn1Sn1，得2an1an，即an1an(n2)，且n1时，适合上式，因此数列an是以为首项，公比为的等比数列，故an(nN*)(2)由(1)及bnan(nN*) ，可知bnlognn，所以，故Tn1.2(2018滨州模拟)在如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB2a，ABC120，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DEBF，BDDE，DE2BF2a，平面BDEF底面ABCD.(1)证明：平面AEF平面AFC；(2)求二面角EACF的余弦值解析：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以ACBD，又平面BDEF底面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，因此AC平面BDEF，从而ACEF.又BDDE，所以DE平面ABCD，由AB2a，DE2BF2a，ABC120，可知AFa，BD2a，EFa，AE2a，从而AF2EF2AE2，故EFAF.又AFACA，所以EF平面AFC.又EF平面AEF，所以平面AEF平面AFC.(2)取EF中点G，由题可知OGDE，所以OG平面ABCD，又在菱形ABCD中，OAOB，所以分别以，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)，则 O(0,0,0)，A(a,0,0)，C(a,0,0)，E(0，a,2a)，F(0，a，a)，所以(0，a,2a)(a,0,0)(a，a,2a)，(a,0,0)(a,0,0)(2a,0,0)，(0，a，a)(0，a,2a)(0,2a，a)由(1)可知EF平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为(0,2a，a)设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即即令z，得y4，所以n(0,4，)从而cosn，.故所求的二面角EACF的余弦值为.3(2018绵阳模拟)某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)，根据以上抽样调查数据，回答下列问题：(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；(2)若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达 90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？(3)为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数的分布列与数学期望解析：(1)从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有800448.(2)这100名学生成绩的平均分为(321005690780370260)91.3，因为91.390，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关(3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取3个，这3个为A级的个数的可能值为0,1,2,3.则P(0)，P(1)，P(2)，P(3).因此可得的分布列为：0123P 则E()0123.4请在下面两题中任选一题作答(选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，a0)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4sin .(1)试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；(2)当a3时，两曲线相交于A，B两点，求|AB|.解析：(1)曲线C1：，消去参数t可得普通方程为(x3)2(y2)2a2.曲线C2：4sin ，两边同乘.可得普通方程为x2(y2)24.把(y2)24x2代入曲线C1的普通方程得：a2(x3)24x2136x，而对C2有x2x2(y2)24，即2x2，所以1a225.故当两曲线有公共点时，a的取值范围为1,5(2)当a3时，曲线C1：(x3)2(y2)29，两曲线交点A，B所在直线方程为x.曲线x2(y2)24的圆心到直线x的距离为d，所以|AB|2.(选修45：不等式选讲)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)在下面给出的直角坐标系中作出函数yf(x)的图象，并由图象找出满足不等式f(x)3的解集；(2)若函数yf(x)的最小值记为m，设a，bR，且有a2b2m，试证明：.解析：(1)因为f(x)|2x1|x1|所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式f(x)3的解集为1,1(2)证明：由图可知函数yf(x)的最小值为，即m.所以a2b2，从而a21b21，从而(a21)(b21).当且仅当时，等号成立，即a2，b2时，有最小值，所以得证
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