资源描述
第1讲 直线与圆锥曲线的位置关系A组小题提速练一、选择题1若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A.B.C. D.解析：由已知得3(a1)a0，解得a，故选D.答案：D2“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选C.答案：C3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y0解析：由(a1)xya10得(x1)a(xy1)0，由x10且xy10，解得x1，y2，即该直线恒过点(1,2)，所求圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案：C4(2018北京西城区模拟)与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22解析：由题意知，曲线为(x6)2(y6)218，过圆心(6,6)作直线xy20的垂线，垂线方程为yx，则所求的最小圆的圆心必在直线yx上，又(6,6)到直线xy20的距离d5，故最小圆的半径为，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x2)2(y2)22.答案：D5一束光线从圆C的圆心C(1,1)出发，经x轴反射到圆C1：(x2)2(y3)21上的最短路程刚好是圆C的直径，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)24B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)216D(x1)2(y1)225解析：圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r11.点C(1,1)关于x轴的对称点C的坐标为(1，1)因为C在反射线上，所以最短路程为|CC1|r1，即14.故圆C的半径为r42，所以圆C的方程为(x1)2(y1)24，故选A.答案：A6圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而10)与圆x2y24交于不同的两点A，B.O是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是()A(，) B，)C，2) D，2)解析：当|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OAOB，AOB120，从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1，此时k；当k时，|，又直线与圆x2y24有两个不同的交点，故k0，b0)关于直线xy10对称，则ab的最大值是()A. B.C. D.解析：由圆x2y24ax2byb20(a0，b0)关于直线xy10对称，可得圆心(2a，b)在直线xy10上，故有2ab10，即2ab12 ，解得ab，故ab的最大值为，故选B.答案：B二、填空题13已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：设圆心为(a,0)(a0)，则圆心到直线2xy0的距离d，得a2，半径r3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y2914点P(1,2)和圆C：x2y22kx2yk20上的点的距离的最小值是_解析：圆的方程化为标准式为(xk)2(y1)21.圆心C(k，1)，半径r1.易知点P(1,2)在圆外点P到圆心C的距离为：|PC|3.|PC|min3.点P和圆C上点的最小距离dmin|PC|minr312.答案：215过点M(1,2)的直线l与圆C：(x3)2(y4)225交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_解析：验证得M(1,2)在圆内，当ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM1，则kl1，故直线l的方程为y2(x1)，整理得xy30.答案：xy30B组大题规范练1.若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点F内分成了31的两段(1)求椭圆的离心率；(2)如图，过点C(1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且2，当AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程解析：(1)由题意知c3，bc，a22b2，e.(2)设直线l：xky1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，(1x1，y1)2(x21，y2)，即2y2y10，由(1)知a22b2，椭圆方程为x22y22b2.由消去x得(k22)y22ky12b20，y1y2，y1y2，由知y2，y1.SAOB|y1|y2|y1y2|，S333，当且仅当|k|22，即k时取等号，此时直线的方程为xy1或xy1.又当|k|22时，y1y21，由y1y2得b2，椭圆方程为1.2(2018贵州兴义八中月考)已知点M(，)在椭圆C：1(ab0)上，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求PAB的面积解析：(1)由已知得解得故椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，则x0m，y0x0mm，即D.因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2.此时x1x23，x1x20，则|AB|x1x2|3，又点P到直线l：xy20的距离为d，所以PAB的面积为S|AB|d.3已知P是圆C：x2y24上的动点，P在x轴上的射影为P，点M满足，当P在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点A(0,2)的直线l与曲线E相交于点C，D，并且，求直线l的方程解析：(1)如图，设M(x，y)，则P(x,2y)在圆C：x2y24上所以x24y24，即曲线E的方程为y21.(2)经检验，当直线lx轴时，题目条件不成立，所以直线l的斜率存在(如图)设直线l：ykx2，C(x1，y1)，D(x2，y2)，则联立(14k2)x216kx120.(16k)24(14k2)120，得k2.x1x2，x1x2.又由，得x1x2，将它代入，得k21，k1(满足k2)所以直线l的斜率为k1.所以直线l的方程为yx2.4已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F(1,0)，其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设，求BDK内切圆M的方程解析：(1)证明：由题设可知K(1,0)，抛物线的方程为y24x，则可设直线l的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，故整理得y24my40，故则直线BD的方程为yy2(xx2)，即yy2，令y0，得x1，所以F(1,0)在直线BD上(2)由(1)可知所以x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1，又(x11，y1)，(x21，y2)，故(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)584m2，则84m2，m，故直线l的方程为3x4y30或3x4y30，y2y1，故直线BD的方程为3xy30或3xy30，又KF为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(1t0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3C.m D3m解析：双曲线方程为1，焦点F到一条渐近线的距离为b.选A.答案：A3已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D1解析：因为双曲线的方程为1，所以e214，因此a21，a1.选D.答案：D4等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A. B2C4 D8解析：抛物线y216x的准线方程是x4，所以点A(4,2)在等轴双曲线C：x2y2a2(a0)上，将点A的坐标代入得a2，所以C的实轴长为4.答案：C5已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，点P的轨迹是椭圆答案：B6下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21解析：A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，又令x20，得y2x，令y20，得yx，故选C.答案：C7已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.答案：A8已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：依题意，解得，双曲线C的方程为1.答案：A9已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意得e，又右焦点为F2(5,0)，a2b2c2，所以a216，b29，故双曲线C的方程为1.答案：C10在同一平面直角坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0)表示的曲线大致是()解析：将方程a2x2b2y21变形为1，ab0，b0，0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1，选D.答案：D二、填空题13若椭圆的方程为1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_.解析：由椭圆的焦距为4得c2，当2a6时，椭圆的焦点在x轴上，则10a(a2)4，解得a4；当6a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_解析：由抛物线y28x可知准线方程为x2，所以双曲线的左焦点为(2,0)，即c2；又因为双曲线的离心率为2，所以e2，故a1，由a2b2c2知b23，所以该双曲线的方程为x21.答案：x2116已知双曲线E：1(a0，b0)矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为2|AB|3|BC|，所以6c,2b23ac，3e,2(e21)3e,2e23e20，解得e2，或e(舍去)答案：2B组大题规范练1过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积解析：(1)由题意得a23，b26，c29，F2(3,0)直线方程为y(x3)，由得2x226.即5x26x270，x3或x.则A，B(3，2)|AB|.(2)由(1)得直线方程为x3y30，(0,0)到直线的距离d，SAOB|AB|d.2已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2y22x0的圆心重合，且椭圆过点(，1)(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若2，求AOB的面积解析：(1)设椭圆的方程为1(ab0)，c为半焦距，由c得a2b22， 椭圆过点(，1)，1，由解得a24，b22，即所求椭圆的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，有设直线方程为ykx1，代入椭圆方程整理得(2k21)x24kx20，解得x，设x1，x2，则2，解得k2，所以AOB的面积S|OP|x1x2|.3已知椭圆：1(ab0)经过点M，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点M在x轴上的射影为点N，过点N的直线l与椭圆相交于A，B两点，且3 0，求直线l的方程解析：(1)由已知可得1，解得a2，b1，所以椭圆的方程为y21.(2)由已知N的坐标为(，0)，当直线l斜率为0时，直线l为x轴，易知3 0不成立当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为xmy，代入y21，整理得(4m2)y22my10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由3 0，得y23y1，由解得m.所以直线l的方程为xy，即y(x)4.如图所示，抛物线y24x的焦点为F，动点T(1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)；(2)若m0且|NF|TF|，求m的值及点N的坐标解析：(1)证明：易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，动点T(1，m)在准线上，则kTF.当m0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上当m0时，由条件知kPQ，所以直线PQ的方程为y(x1)，联立得x2(2m2)x10，(2m2)24m2(4m2)0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可知x1x22m2，y1y2(x1x22)2m.所以弦PQ的中点N.又T(1，m)，所以kNT0，则NT平行于x轴综上可知，线段NT平行于x轴(或在x轴上)(2)已知|NF|TF|，在TFN中，tanNTF1NTF45，设A是准线与x轴的交点，则TFA是等腰直角三角形，所以|TA|AF|2，又动点T(1，m)，其中m0，则m2.因为NTF45，所以kPQtan 451，又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为yx1.由m2，得T(1,2)，由(1)知线段NT平行于x轴，设N(x0，y0)，则y02，代入yx1，得x03，所以N(3,2)
展开阅读全文