资源描述
第4讲函数yAsin(x)的图象及应用1.“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象2函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤1概念辨析(1)将函数y3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)将函数y2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y2sin的图象()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2， B2，C2， D2，答案A解析函数y2sin的振幅是2，周期T，频率f，初相是，故选A.(2)用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案解析列表：五个点依次是、.(3)将函数f(x)cos2x的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图象，则g_.答案解析函数f(x)cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数ycos2cos，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)cos，所以gcossin.(4)(2018长春模拟)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)sin解析由图象可知A，所以，2，所以f(x)sin(2x)，又f，所以22k，kZ，2k，kZ，又|0，顺次连接函数ysinx与ycosx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则()A B. C. D.答案B解析当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为2，边长即为函数的周期，故，.3已知函数f(x)2sinx(0)在区间上单调递增，求的最大值解函数f(x)2sinx(0)在上单调递增，所以，所以解得00，0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象的变换：由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数ysin2x1的图象，只需将函数ycos2x的图象()A.向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度答案B解析先将函数ycos2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得ysin2x1的图象，故选B.2.(2018青岛模拟)将函数f(x)2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为()A.x BxC.x Dx答案A解析当函数f(x)2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1(x)2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)可以表示为g(x)2sin2sin.则函数g(x)的图象的对称轴可表示为4xk，kZ，即x，kZ.则g(x)的图象离原点最近的对称轴，即g(x)的图象离y轴最近的对称轴为x.题型 由图象确定yAsin(x)的解析式1.已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)，其导函数f(x)的图象如图所示，则f的值为()A2 B. C D答案D解析依题意得f(x)Acos(x)，结合函数yf(x)的图象，则T4，2.又A1，因此A.因为0，0，0，|)，其图象上最高点M的坐标是(2，)，曲线上的点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q(6,0)处越过x轴(1)求A，的值；(2)函数f(x)的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由解(1)由题意知A，T(62)416，所以.又因为Q(6,0)是零值点，且|0，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：1(2018四川绵阳诊断)如图是函数f(x)cos(x)的部分图象，则f(3x0)()A. BC. D答案D解析f(x)cos(x)的图象过点，cos，结合0，可得.由图象可得cos，x02，解得x0.f(3x0)f(5)cos.2.已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图所示，则f等于_答案解析观察图象可知，所以，2，所以f(x)Atan(2x)又因为函数图象过点，所以0Atan，所以k(kZ)，所以k(kZ)又因为|，所以.又图象过点(0,1)，所以A1.综上知，f(x)tan，故ftan.题型 三角函数图象性质的应用角度1三角函数模型的应用1如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5 B6 C8 D10答案C解析由图象可知，ymin2，因为ymin3k，所以3k2，解得k5，所以这段时间水深的最大值是ymax3k358.角度2函数零点(方程根)问题2.已知关于x的方程2sin1a0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是_答案2,3)解析2sin1a0化为sin，令tx，由x得，tx，画出函数ysint，t的图象和直线y，当1，即2a3时，函数ysint，t的图象和直线y有两个公共点，原方程有两个根.角度3三角函数图象性质的综合3.函数f(x)Asin(x)的部分图象如图，则()A函数f(x)的对称轴方程为x4k(kZ)B.函数f(x)的递减区间为(kZ)C.函数f(x)的递增区间为8k1,8k5(kZ)D.f(x)1的解集为(kZ)答案D解析由题图知，A2，函数f(x)的最小正周期T4(31)8，故，所以f(x)2sin，因为点(1,2)在图象上，所以2sin2，因为|0，0)；画出一个周期上的函数图象；利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题(3)研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f(x)(xR)，则f(x)()A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数C.在区间上是增函数D.在区间上是减函数答案A解析函数f(x)(xR)的图象如图所示，由图象可知函数f(x)(xR)在区间上是增函数故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是()Ah(t)8sint10B.h(t)cost10C.h(t)8sint8D.h(t)8cost10答案D解析设h(t)AcostB，因为12 min旋转一周，所以12，所以，由于最大值与最小值分别为18,2.所以解得A8，B10.所以h(t)8cost10.3.若函数f(x)sin(0)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为()A. B C. D2答案B解析依题意，函数f(x)图象的一条对称轴为x，又因为函数f(x)在上有且只有一个零点，所以0，所以T.根据选项可得，f(x)的最小正周期为.
展开阅读全文