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44生活中的优化问题举例读教材填要点1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2解决优化问题的基本思路小问题大思维将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？提示：设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2，且0x8，y48x192.令y0，即48x1920，得x4.当0x4时，y0，当40，当x4时，y最小即分成的这两个数应为4,4.用料最省、费用最低问题 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价自主解答(1)设长为x m，则宽为 m据题意解得x16，y40024816 000800x16 000.(2)令y8000，解得x18.当x(0,18)时，函数y为减函数；当x(18，)时，函数y为增函数又x16.当x16时，ymin45 000.当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值1.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8vv0)若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k0)，则y1kv2.当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y元，由题意，得yy1，y.令y0，解得v0(舍去)或v16.当v016时，v(8,16)，y0，即y为减函数；v(16，v0，y0，即y为增函数，故v16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；当v016时，v(8，v0，y0，即y在(8，v0上为减函数，故当vv0时，ymin，此时全程燃料费最省综上可得，若v016，则当v16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v016，则当vv0时，全程燃料费最省，为元.利润最大、效率最高问题 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p24 200x2，且生产x吨的成本为：R50 000200x(元)问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？自主解答依题意，每月生产x吨时的利润为：f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 000，令f(x)0，解得x1200，x2200(舍去)因为f(x)在0，)内有意义，则有且只有当x200时f(x)0，且它就是最大值点，最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000.故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值2.某产品按质量分为10个档次，生产第1档次(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但在一天内产量减少3件在一天内，最低档次的产品可生产60件问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大？最大利润是多少？解：设在一天内，生产第x(1x10，xN)档次的产品的总利润为y.依题意，得y82(x1)603(x1)6x2108x378(1x10，xN)，y12x108，令y12x1080，解得x9.因为x9符合题意，且y只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元.面积、容积的最值问题 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值自主解答设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较3.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为S(x) m2.则S(x)(x6)2 4242 4244，x(6,600)S(x)4，令S(x)0，得60x0，得6x0，y0，y2(0x1)S(2x2)22(x1) (0x1)(2)令f(x)S24(x1)2(1x2)(0x1)，则f(x)8(x1)2(12x)令f(x)0，解得x或x1(舍去)当0x0，f(x)为增函数；当x1时，f(x)0，f(x)为减函数f 是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f 时，S.故当x时，S取得最大值.1一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为St32t2，那么速度为0的时刻是()A1秒末B0秒C2秒末 D0或1秒末解析：由题意可得S4t24t，令S0，则t0或1.答案：D2某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200C250 D300解析：由题意可得总利润P(x)300x20 000，0x390，则P(x)300.由P(x)0，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大答案：D3某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为()A900元 B840元C818元 D816元解析：设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底的面积为16(m2)，则长为x m的一边的邻边长度为m，l16151224072，所以l72.令l0，解得x4或x4(舍去)，当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l有极小值，也是最小值，且最小值为816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元答案：D4用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为_m时，容器的容积最大解析：设高为x米，则Vx(x0.5)2x32.2x21.6x，x(0,1.6)，V6x24.4x1.6，令V0，解得x1或x(舍去)当0x0，当1x1.6时，V0)，则l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.答案：A4某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0.设总利润为y万元，则yx1 200x3500x31 200.求导数得，yx2.令y0，得x25.故当x0；当x25时，y0.因此当x25时，函数y取得极大值，也是最大值答案：257将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_解析：如图，设ADx(0x1)，则DEAEx，梯形的周长为x2(1x)13x.又SADEx2，梯形的面积为x2.s(0x1)s.令s0，得x或3(舍去)，当x时，s0，s递减；当x时，s0，s递增；故当x时，s的最小值是.答案：8.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_解析：设CDx，则点C坐标为，点B坐标为，矩形ABCD的面积Sf(x)xx，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x时，f(x)0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.答案：三、解答题9为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元10某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大
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