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高考达标检测（六十） 不等式证明1已知a，b都是正实数，且ab2，求证：1.证明：a0，b0，ab2，1.ab22，ab1.0.1.2已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.3(2018云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x1|2x|a |x1|2x|都成立(1)求a的值；(2)设mn0，求证：2m2na.解：(1)设f(x)|x1|2x|，则f(x)f(x)的最大值为3.对任意实数x，|x1|2x|a都成立，即f(x)a，a3.设h(x)|x1|2x|，则h(x)则h(x)的最小值为3.对任意实数x，|x1|2x|a都成立，即h(x)a，a3.a3.(2)证明：由(1)知a3.2m2n(mn)(mn)，且mn0，(mn)(mn)33.2m2na.4已知x，y，z是正实数，且满足x2y3z1.(1)求的最小值；(2)求证：x2y2z2.解：(1)x，y，z是正实数，且满足x2y3z1，(x2y3z)6 6222，当且仅当且且时取等号(2)由柯西不等式可得1(x2y3z)2(x2y2z2)(122232)14(x2y2z2)，x2y2z2，当且仅当x，即x，y，z时取等号故x2y2z2.5(2018石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.解：(1)由绝对值不等式的性质知f(x)|x|x1|xx1|1，f(x)min1，只需|m1|1，即1m11，0m2，实数m的最大值M2.(2)证明：a2b22ab，且a2b22，ab1，1，当且仅当ab时取等号又，当且仅当ab时取等号由得，ab2ab.6(2018吉林实验中学模拟)设函数f(x)|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)4|x1|；(2)若f(x)1的解集为0,2，a(m0，n0)，求证：m2n4.解：(1)当a2时，不等式为|x2|x1|4.当x2时，不等式可化为x2x14，解得x；当1x2时，不等式可化为2xx14，不等式的解集为；当x1时，不等式可化为2x1x4，解得x.综上可得，不等式的解集为.(2)证明：f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，解得a1，所以1(m0，n0)，所以m2n(m2n)222 4，当且仅当m2，n1时取等号7已知a，b，c，d均为正数，且adbc.(1)证明：若adbc，则|ad|bc|；(2)若t，求实数t的取值范围解：(1)证明：由adbc，且a，b，c，d均为正数，得(ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因为(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以tt(acbd)由于 ac, bd，又已知t ，则t(acbd) (acbd)，故t ，当且仅当ac，bd时取等号所以实数t的取值范围为，)8已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|f .解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3xf等价于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立.
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