数学精华课件：三角函数的图象和性质.ppt

第三节三角函数的图象和性质 基础知识梳理 1 周期对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫做 非零常数T叫做这个函数的 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的 正弦函数 余弦函数都是周期函数 都是它们的周期 最小正周期是 2k k Z 周期函数 周期 2 最小正周期 基础知识梳理 2 正弦函数 余弦函数的图象和性质如下表 基础知识梳理 k Z k Z 在上递增 在上递减 2k 2k k Z 2k 2k 1 k Z 基础知识梳理 1 1 1 1 k 0 k Z x k k Z 基础知识梳理 正弦函数 余弦函数的对称中心是正弦函数 余弦函数与x轴的交点 所以函数y Asin x B的对称中心就是该函数与x轴的交点 这种说法对吗 思考 思考 提示 不正确 应是函数y Asin x B与直线y B的交点 基础知识梳理 3 y tanx的性质 1 定义域是 2 值域是 即正切函数既无最大值 也无最小值 3 周期性 正切函数是周期函数 最小正周期是 4 奇偶性 正切函数是 5 单调性 正切函数在开区间内都是增函数 奇函数 R 基础知识梳理 6 对称性 正切函数的图象关于原点对称 正切曲线都是中心对称图形 其对称中心坐标是 0 k Z 正切函数无对称轴 4 y tanx x k k Z 的图象 三基能力强化 1 函数f x sinxcosx的最小正周期为 答案 三基能力强化 2 2009年高考福建卷改编 函数f x sinxcosx的最小值是 三基能力强化 三基能力强化 答案 三基能力强化 答案 1 0 三基能力强化 三基能力强化 答案 3 课堂互动讲练 1 求三角函数的定义域 既要注意一般函数的定义域的规律 又要注意三角函数本身的特有属性 如题中出现tanx 则一定有x k k Z 2 求三角函数的定义域通常使用三角函数线 三角函数图象和数轴 课堂互动讲练 思路点拨 先转化为三角不等式 可利用单位圆或三角函数图象进行求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 求函数定义域的题型 关键是根据使式子有意义的x的取值范围 将问题转化为解不等式 此题是解三角不等式 常用的方法 利用单位圆中的三角函数 利用三角函数的图象 利用函数单调性 一定要与相应三角函数的周期联系 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 1 先化简 再求值 2 化成一个角的三角函数 再求单调区间 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 对于形如y Asin x 和y Acos x A 0 0 的函数的单调区间 可以把 x 看作一个 整体 代入y sint或y cost的单调区间 通过解不等式求得 复合函数的单调性的规律是 若内外层单调性相同 则复合函数是增函数 若内外层单调性相异 则复合函数是减函数 因此求复合函数的单调区间时 应先将内外两层函数的单调性分开研究 然后再综合起来考虑 课堂互动讲练 互动探究 课堂互动讲练 互动探究 课堂互动讲练 三角函数的对称性在所有的对称性问题中比较突出 对称轴 对称中心以及与之有关的问题成为考查的重点 课堂互动讲练 2009年高考全国卷 改编 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点 0 中心对称 那么 的最小值为 思路点拨 把点 0 代入解析式 求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 将三角函数式化为一个角的三角函数 如y Asin x 然后可解决对称轴 对称中心问题 三角函数的对称轴 对称中心往往不止一个 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 三角函数的考查常与三角函数的几种性质一起考查 往往需先化简三角函数式 再根据每个性质的特点与要求去求 对于变量x 有时给出限制的区间范围 所以研究这些性质应结合这个范围限制 课堂互动讲练 思路点拨 先化简f x 的解析式 由周期先求 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 求三角函数值域的常用方法有 1 将函数式化为y Asin x 的形式 然后根据定义域求出值域即可 2 采用反函数法 利用sinx和cosx的有界性求值域 3 采用换元法 转化为代数函数求解 但应特别注意所换元的范围 课堂互动讲练 4 本题满分13分 已知函数f x sin2x acos2x a R a为常数 且是函数y f x 的零点 1 求a的值 并求函数f x 的最小正周期 2 若x 0 求函数f x 的值域 并写出f x 取得最大值时x的值 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 规律方法总结 有关三角函数的定义域与值域问题 最大值 最小值问题 通常把已知解析式化成y Asin x B 或者配方转化成关于sinx或cosx的二次函数 再根据函数图象去求解 三角函数单调区间的确定 一般先将函数式化为基本三角函数的标准式 然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解 若对函数利用描点画图 则根据图形的直观性可迅速获解 判断函数的奇偶性 应首先判定函数定义域关于原点的对称性 规律方法总结 三角函数最小正周期的求法 主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如y Asin x 的形式 另外还有图象法和定义法 总之 对三角函数性质的研究一般思路是将函数化成y Asin x 的形式 再结合图象去研究性质 谢谢