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课时分层作业 七十三坐标系(45分钟60分)1.(10分)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线sin =-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.【解析】在sin =-中令=0,得=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC=1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为=2cos .2.(10分)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin 2=cos 和sin =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2交点的直角坐标.【解析】由sin 2=cos 可得2sin 2=cos ,因此y2=x,即曲线C1的直角坐标方程为y2=x;由sin =1可得曲线C2的直角坐标方程为y=1,解方程组可得所以两曲线交点的直角坐标为(1,1).3.(10分)(1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换: 求点A经过变换所得的点A的坐标.(2)求直线l:y=6x经过: 变换后所得到的直线l的方程.【解析】(1)设A(x,y),由伸缩变换:由于点A的坐标为,于是x=3=1,y=(-2)=-1,所以A(1,-1)为所求.(2)设直线l上任意一点P(x,y),由上述可知,将 代入y=6x得2y=6,所以y=x为所求.【变式备选】若函数y=f(x)的图象在伸缩变换: 的作用下得到曲线的方程为求函数y=f(x)的最小正周期.【解析】由题意,把变换公式代入曲线得3y=3sin ,整理得y=sin ,故f(x)=sin .所以y=f(x)的最小正周期为=.4.(10分)在极坐标系中,判断直线sin =与圆=2cos 的位置关系.【解析】由直线sin =得,x-y+1=0,由圆=2cos 得x2+y2=2x,所以(x-1)2+y2=1,它的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心到直线的距离d=r=1,所以直线与圆相离.5.(10分)(2018长春摸拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2, 2-2cos (-)=2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【解析】(1)由=2知2=4,所以x2+y2=4;因为2-2cos =2,所以2-2=2,所以x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为cos +sin =1,即sin =.6.(10分)(2018成都模拟)(1)若圆x2+y2=4在伸缩变换(0)的作用下变成一个焦点在x轴上,且离心率为的椭圆,求的值.(2)在极坐标中,已知点A(2,0),点P在曲线C:=上运动,求P,A两点间的距离的最小值.【解析】(1)圆x2+y2=4在伸缩变换(0)的作用下变成焦点在x轴上,c2=42-36,e2=,=5,所以的值为5.(2)曲线C的极坐标方程可化为=,即-cos =2,化为直角坐标方程,得-x=2,即y2=4(x+1).设点P(x,y)(x-1),即|PA|=2,当且仅当x=0时取等号,故|PA|min=2.【变式备选】(2018西安模拟) 在极坐标系中,极点为O,曲线C1:=6sin 与曲线C2:sin =,求曲线C1上的点到曲线C2的最大距离.【解析】曲线C1:=6sin 化为:2=6sin ,所以直角坐标方程为:x2+y2=6y,配方为x2+(y-3)2=9.曲线C2:sin =,展开为(sin +cos )=,化为直角坐标方程为:x+y-2=0.圆心(0,3)到直线的距离d=.则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为3+.
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