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第四课时利用导数研究含参数不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号分离参数求解不等式问题1,2恒成立问题求参数3含全称、存在量词不等式问题41.(2017济南历下区校级三模)已知函数f(x)=xln x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式f(x)kx-恒成立,求实数k的取值 范围.解:(1)因为f(x)=xln x.所以f(x)=1+ln x,令f(x)=0,得x=,当x(0,)时,f(x)0.所以函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增.(2)由于x0,f(x)kx-恒成立,所以kln x+.构造函数k(x)=ln x+,所以k(x)= -=.令k(x)=0,解得x=,当x(0,)时,k(x)0.所以函数k(x)在点x=处取得最小值,即k()=1-ln 2.因此所求k的取值范围是(-,1-ln 2).2.(2017吉林白山二模)已知函数f(x)= ln x+bx-c,f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+y+4=0.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调区间;(3)若在区间,3内,恒有f(x)2ln x+kx成立,求k的取值范围.解:(1)f(x)= +b,因为f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+y+4=0,所以切线斜率为-1,则f(1)=1+b=-1,得b=-2,将x=1代入方程x+y+4=0,得y=-5,所以f(1)=b-c=-5,将b=-2代入得c=3,故f(x)=ln x-2x-3.(2)由题意知函数的定义域是(0,+),且f(x)= -2,令f(x)0得,0x,令f(x),故f(x)的单调增区间为(0,),单调减区间为(,+).(3)由f(x)2ln x+kx得k-2-在区间,3内恒成立,设g(x)=-2-,则g(x)=,因为x,3,所以g(x)0,所以g(x)在区间,3上单调递增,所以g(x)的最小值为g()=2ln 2-8,所以k2ln 2-8.即k的取值范围是(-,2ln 2-8.3.(2017山西晋中二模)已知函数f(x)=2ln x+ax-(aR)在x=2处的切线经过点(-4,2ln 2).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式mx-1恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)= +a+,令x=2,所以f(2)=1+a+f(2),所以a=-1,设切点为(2,2ln 2+2a-2f(2),则y-(2ln 2+2a-2f(2)=f(2)(x-2),代入(-4,2ln 2)得,2ln 2-2ln 2-2a+2f(2)=-6f(2),所以f(2)=-,则f(x)=2ln x-x+.所以f(x)= -1-=0,所以f(x)在(0,+)上单调递减.(2)由mx-1恒成立得(2ln x+-x)m,即m.由(1)得f(x)在(0,+)单调递减,又f(1)=0,所以,当x(0,1)时f(x)0,此时0,当x(1,+)时,f(x)0,所以0,所以m0.即实数m的取值范围为(-,0.4.导学号 38486071(2017安徽宿州一模)已知函数f(x)=aln x+,g(x)=bx,a,bR. (1)求f(x)的单调区间;(2)对于任意a 0,1,任意x2,e,总有f(x)g(x),求b的取值范围.解:(1)f(x)=aln x+,则f(x)= -=(x0),当a0时,f(x)0时,令f(x)0得x,令f(x)0得0x0时,f(x)递减区间为(0,),递增区间为(,+).(2)令(a)=aln x+-bx,由已知得(1)最大,则只需(1)0,即ln x+-bx0,对任意x2,e,ln x+-bx0恒成立,即b+恒成立.令h(x)=+(x2,e),则h(x)=,设m(x)=x-xln x-2(x2,e),则m(x)=-ln x0,所以m(x)在2,e递减,所以m(x)m(2)=-2ln 20,即h(x)0,所以h(x)在2,e递减,所以h(x)max=h(2)=+,则b+,所以b的取值范围为+,+).
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