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2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？答案(1)对称轴为坐标轴；(2)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于.梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1抛物线的方程都是y关于x的二次函数()2方程x22py(p0)表示开口向上的抛物线()3抛物线的焦点到准线的距离为p.()4抛物线的开口方向由一次项确定()类型一由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1已知抛物线的方程yax2(a0)，求它的焦点坐标和准线方程解将抛物线方程化为标准方程x2y(a0)，则抛物线焦点在y轴上，(1)当a0时，p，焦点坐标F，准线方程y.(2)当a0时，p，焦点坐标F，准线方程y，综合(1)(2)知抛物线yax2(a0)的焦点坐标是F，准线方程是y.反思与感悟根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程跟踪训练1(1)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_答案2x1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程y240x；4x2y；3y25x；6y211x0.解焦点坐标为(10,0)，准线方程为x10.由4x2y得x2y.2p，p.焦点坐标为，准线方程为y.由3y25x，得y2x.2p，p.焦点坐标为，准线方程为x.由6y211x0，得y2x，故焦点坐标为，准线方程为x.类型二求解抛物线的标准方程例2根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，AF5.解(1)双曲线方程可化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，抛物线的方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5AF.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值跟踪训练2已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程解设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F，由题意，得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m2.抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.类型三抛物线在实际生活中的应用例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为m，所以h|yA|2(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，以点B为坐标原点，过点B与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA的长为51.8(m)所以管柱OA的长为1.8m.1已知抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为_答案y228x解析可设抛物线方程为y22px(p0)，由准线方程为x7知，7，即p14.故抛物线的标准方程为y228x.2已知点(2,3)与抛物线y22px(p0)的焦点的距离是5，则p的值为_答案4解析焦点的坐标为，由两点间的距离公式得5p4.3若抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.答案2解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1，p2.4若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.答案2解析抛物线y22px(p0)的准线方程是x，因为抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点F1(，0)，所以，解得p2.5已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则MNMF的最小值为_答案解析将x2代入抛物线方程，得y2.32，点N在抛物线的外部MNMFNF，而F(1,0)，则NF，MNMF，当N，M，F三点共线时有最小值，最小值为.1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F，准线方程为y.2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MFx0.一、填空题1抛物线yx2的准线方程是_答案y1解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.2以坐标原点为顶点，(1,0)为焦点的抛物线的方程为_答案y24x解析由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则有1，得p2，所以抛物线的方程为y24x.3经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为_答案y2x或x28y解析设所求抛物线的标准方程为y22mx(m0)或x22ny(n0)，代入点P(4，2)，解得m或n4，所以所求抛物线的标准方程为y2x或x28y.4以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_答案y216x解析双曲线的方程为1，右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则4，即p8，抛物线的标准方程为y216x.5已知抛物线C1：y2x2与抛物线C2关于直线yx对称，则C2的准线方程是_答案x解析y2x2关于yx对称的曲线为抛物线y2x，其准线方程为x.6已知一个圆的圆心C在抛物线y24x上，并且与x轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为_答案2解析设圆心C(x0，y0)，则y4x0，依题意得，半径r|y0|x01|，由得x01，故圆的半径r2.7顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是_答案x212y解析因为顶点与焦点距离等于3，2p12，又对称轴是y轴，抛物线的方程为x212y.8抛物线方程为7x4y20，则焦点坐标为_答案解析方程化为y2x，抛物线开口向左，2p，故焦点坐标为.9设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为_答案解析如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B.将其代入y22px，得12p，解得p，故点B到准线的距离为p.10设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为_答案(1,2)或(1，2)解析设A(x0，y0)，F(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040，即x3x040，x01或x04(舍)x01，y02.则点A的坐标为(1,2)或(1，2)11若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则PQ的最小值是_答案1解析设圆(x3)2y21的圆心为O(3,0)，要求PQ的最小值，只需求PO的最小值设点P坐标为(y，y0)，则PO，PO的最小值为，从而PQ的最小值为1.二、解答题12已知抛物线的顶点在原点，它的准线过1的一个焦点，而且与x轴垂直又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y22px(p0)，将点代入方程得p2，所以抛物线方程为y24x.准线方程为x1，由此可知双曲线方程中c1，焦点为(1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a1，所以双曲线的标准方程为1.13已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AFBF8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程解设抛物线的方程为y22px(p0), 则其准线方程为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AFBF8，x1x28，即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上，QAQB，即，又y2px1，y2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直，x1x2.故x1x2122p8p122p0，即p4.从而抛物线方程为y28x.三、探究与拓展14已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF3，则线段AB的中点到y轴的距离为_答案解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AFBFxAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.15设点P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求PBPF的最小值解(1)如图，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于点P，故最小值为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，P1QP1F，那么PBPFP1BP1QBQ4，即最小值为4.
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