2018高中数学 初高中衔接读本 专题5.1 解直角三角形高效演练学案.doc

第1讲 解直角三角形三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。【知识梳理】知识点1. 三角形及其性质 （1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形；（2）三角形的内角和是180，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知识点2. 解直角三角形 在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2b2c2；(2)两个锐角之间的关系：AB90； (3)边角之间的关系：sin A，cos A，tan A； sin B，cos B，tan B.（4）三角函数值之间的关系同角三角函数之间的关系：sin2cos21；tan .互余两角的三角函数关系：若AB90，则sin Acos B或sin Bcos A.（5）特殊锐角的三角函数值sin cos tan 3045160直角三角形是一种特殊的三角形，因为有勾股定理及锐角三角函数的运用，使它的边角关系更加丰富，同时也为高中学习解三角形和三角函数，提供了很好的阶梯。【高效演练】1. 在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则cosB的值为()A. B. C. D. 【解析】分析：根据格点的特征及勾股定理结合余弦的定义即可求得结果.由图可得，故选B.【答案】B2.如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin 的值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解题反思】根据锐角三角函数的定义，代入边的长度求出三角函数值，最好用数形结合的思想画出图形帮助分析求解决此类问题的关键是将所求的角放在直角三角形中，并求出直角三角形的边长.3. 如图，AB是电线杆BC的一根拉线，测得BC6米，ABC42，则拉线AB的长为()A. 6cos42米 B. 米 C. 米 D. 米【解析】分析：首先根据电线杆一定与地面垂直可知ABC是直角三角形，然后再根据cosABC，代入相关数值即可得出结论.在RtABC中，BC=6，ABC=42，cosABC=，即cos42=，AB= m. 故选：D.【答案】D4如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF2，BC5，CD3，则tan C等于()A. B. C. D. 【解析】：如图所示，连结BD.由三角形中位线定理，得BD2EF224.又BC5，CD3，CD2BD2BC2，BDC是直角三角形且BDC90，tan C.故选B.【答案】B5在RtABC中，C90，AB2BC，现给出下列结论：sinA；cos B；tan A；tanB，其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号)【解析】在RtABC中，C90，AB2BC，A30，B60，sin A，cos B，tan A，tan B，故正确【答案】6如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tanDCF的值是 ；7 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米【解析】：如图，过点A作ADBC，垂足为D，在RtACD中，ACD753045，AC3025750(米)，ADACsin 45375(米)在RtABD中，B30，AB2AD750(米)【答案】7508. 如图所示，已知O是ABC的外接圆，AD是O的直径，连结CD，若AD3，AC2，则cosB的值为_【解析】分析：根据圆周角定理的推论，得B=D根据直径所对的圆周角是直角，得ACD=90在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=，则cosD=，由同弧所对的圆周角相等即可求得cosB的值解：AD是O的直径，ACD=90.AD=3，AC=2，CD=.cosD=cosB=，故答案为：.【答案】【解题反思】：本题考查了圆周角定理：再同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径，也考查了勾股定理和锐角三角函数.9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OEAC交AB于点E.若BC4，AOE的面积为5，则sinBOE的值为_【解析】如图，过点O作OHAE于点H，连接CE。矩形ABCD中，AO=BO，ABBC，BC=4，由三角形的中位线定理，得OH=2。AOE的面积为5，AE=5。AO=OC，OEAC，即EO是AC的垂直平分线，CE= AE=5。在RtEBC中，BC=4，CE=5, 由勾股定理得EB=3。OEAC，ABBC，即EBC=EOC=900，点O，C，B，E在以CE为直径的圆上，BOE=BCE。sinBOE=sinBCE=。【答案】10. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB90，AB5，点E在AB上，AED45，DE6，CE7.求（1）AE的长；（2）sinBCE的值【解析】分析：已知RtDAE中，AED=45，DE=6，利用AED的余弦，即可求出AE的长度；由图形中的隐含条件BE=AB-AE可求出BE的长，接下来在RtBCE中，利用锐角三角函数的定义，即可得到sinBCE的值.11如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C45，sin B，AD1.(1)求BC的长；(2)求tanDAE的值【解析】 (1)在ABC中，AD是BC边上的高，ADBADC90.在ADC中，ADC90，C45，AD1，DCAD1.在ADB中，ADB90，sin B，AD1，AB3，BD2，BCBDDC21.(2)AE是BC边上的中线，CEBC，DECECD，tanDAE.12 如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF.经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即BCA90，且BC1.5 m，点F，A，C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角BAC30，支撑杆DEAB于点D，该支架的边BE与AB的夹角EBD60，又测得AD1 m请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度【解析】如图，过点B作BHEF于点H，四边形BCFH为矩形，BCHF1.5 m，HBABAC30.在RtABC中，BAC30，BC1.5 m，AB3 mAD1 m，BD2 m在RtEDB中，EBD60，BED906030，EB2BD224(m)又HBABAC30，EBHEBDHBD30，EHEB2(m)，EFEHHF21.53.5(m)答：该支架的边BE为4 m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5 m.