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考点规范练28等差数列及其前n项和基础巩固组1.已知等差数列an,且a2+a8=16,则数列an的前9项和等于()A.36B.72C.144D.288答案B解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=9162=72.故选B.2.(2018浙江宁波高三期末)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较多的三份之和的17是较少的两份之和.若按题中要求分好面包,则最少的一份为()A.53B.103C.56D.116答案A解析设a1a2a3a40”是“Sn+Sn+22Sn+1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为Sn+Sn+2-2Sn+1=d,所以是充分必要条件.故选C.4.设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列,则()A.d0B.d0D.a1d0答案D解析数列2a1an为递减数列,2a1an+12a1an=2a1an+1-a1an=2a1(an+1-an)=2a1d1.a1d0,Sn是其前n项和,若Sn取得最大值,则n=()A.5B.6C.7D.6或7答案D解析等差数列an中,满足S3=S10,且a10,S10-S3=7a7=0.a7=0.递减的等差数列an中,前6项为正数,第7项为0,从第8项开始为负数.Sn取得最大值时,n=6或7.11.设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S2 0150,S2 0160,S20160,2016(a1+a2016)2=1008(a1008+a1009)0,a10090.对任意正整数n,都有|an|ak|,k=1008.故选C.12.设an是等差数列,Sn为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(ijkl),则()A.aialajakB.aialajakC.SiSlSjSkD.SiSlSjSk答案A解析可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则aial-ajak=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d20,故A正确.同理可以验证B,C,D选项均不正确.13.设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的是()A.若d0,则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项,则d0D.若对任意nN*,均有Sn0,则数列Sn是递增数列答案C解析若数列Sn为递增数列,则当n2时,Sn-Sn-1=an0,即n2时,an均为正数,而a1是正数、负数或零均有可能,对任意nN*,并不一定Sn始终大于0.故选C.14.(2018浙江绍兴一中模拟)若等差数列an的首项为a1,公差为d,关于x的不等式d2x2+a1-d2x+c0的解集为0,10,则c=,使数列an的前n项和Sn最大的正整数n的值是.答案05解析由题意可知d0,a52的n的集合是.答案5解析等差数列an满足a40,a50,d2,得an+1-2anan0,即a1+nd-2a1-2(n-1)da1+(n-1)d0,a1+(n-2)da1+(n-1)d0,a1+(n-1)d0.满足a56,S39,a1+4d6,3a1+3d9,可得3d3,即d1.又d0,03.可得a6(3,7.17.已知数列an的前n项和Sn=-n2+2kn(kN*),且Sn的最大值为4.(1)确定常数k的值,并求数列an的通项公式an;(2)令bn=5-an3n,数列bn的前n项和为Tn,试比较Tn与32的大小.解(1)因为Sn=-(n-k)2+k2(kN*),所以当n=k时,Sn取得最大值k2.依题意得k2=4,又kN*,所以k=2.从而Sn=-n2+4n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+4n)-(n-1)2+4(n-1)=5-2n.又a1=S1=3也适合上式,所以an=5-2n(nN*).(2)由(1)得an=5-2n,所以bn=5-an3n=2n3n.所以Tn=231+432+633+2n3n,13Tn=232+433+634+2n3n+1.由-得,23Tn=231+232+233+23n-2n3n+1,所以Tn=1+131+132+13n-1-n3n=1-13n1-13-n3n=32-2n+323n.因为Tn-32=-2n+323n0,所以Tn32.18.已知等差数列an满足(a1+a2)+(a2+a3)+(an+an+1)=2n(n+1)(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列an2n-1的前n项和Sn6.(1)解设等差数列an的公差为d,由已知得a1+a2=4,(a1+a2)+(a2+a3)=12,即a1+a2=4,a2+a3=8,所以a1+(a1+d)=4,(a1+d)+(a1+2d)=8,解得a1=1,d=2.所以an=2n-1.(2)证明由(1)得an2n-1=2n-12n-1,所以Sn=1+32+522+2n-32n-2+2n-12n-1,12Sn=12+322+523+2n-32n-1+2n-12n, -,得12Sn=1+1+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,所以Sn=6-4n+62n6.
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