2019届高考数学二轮复习 专题三 第1讲 空间几何体中的计算与位置关系（理）学案.docx

第1讲空间几何体中的计算与位置关系1.以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下；2.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.1.空间几何体的三视图：长对正、高平齐、宽相等.2.空间几何体的两组常用公式(1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高/母线)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高/母线)；S球表4R2(R为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V球R3.3.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.4.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间几何体的三视图与表面积、体积【例1】(2018上饶期末)如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD解析根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个圆柱所得，作出几何体的直观图（如图），则该几何体的表面积为答案C探究提高1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.3.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练1】 (1)(2017北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.10(2)(2017枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是_.解析(1)由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1BCD，35410.(2)由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥BA1C1D(如图所示).设正方体的棱长为a，则几何体的体积是Va34a2aa3，a1，三棱锥的棱长为，因此该三棱锥的表面积为S4()22.答案(1)D(2)2热点二外接球与内切球【例2】(2019广东一模)九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）ABCD解析如图所示，该几何体为四棱锥，底面为长方形.其中底面，.易知该几何体与变成为的长方体有相同的外接球，则该阳马的外接球的直径为.球体积为：.答案A.探究提高1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练2】(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A. B.C.D.解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径ROA1，球心到底面圆的距离为OM.底面圆半径r，故圆柱体积Vr2h1.答案B热点三空间平行、垂直关系的判断与证明【例3】(2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.(1)证明BAPCDP90，ABPA，CDPD.ABCD，ABPD.又PAPDP，PA，PD平面PAD，AB平面PAD.AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)解取AD的中点E，连接PE.PAPD，PEAD.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx，故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练3】(2017山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.1(2018全国I卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）ABCD2(2018全国I卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为ABCD3(2018全国III卷)设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）ABCD4(2018全国II卷)已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_1.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()A.mlB.mnC.nlD.mn2.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC3(2018全国III卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A B C D4.(2017江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_.5.(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积.1(2018郑州质检)如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()ABCD2.(2017菏泽二模)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则.则其中正确命题的序号是()A.和B.和C.和D.和3.(2017新乡三模)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C.D.4.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的命题序号是_.平面ABD平面ABC；平面ADC平面BDC；平面ABC平面BDC；平面ADC平面ABC.5.(2017石家庄模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求证：AC平面FBC；(2)求四面体FBCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.参考答案1【解题思路】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【答案】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.2【解题思路】首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.【答案】根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.3【解题思路】作图，为与球的交点，点为三角形的重心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得；【答案】如图所示，点为三角形的重心，为中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，点为三角形的重心，中，有，故选B4【解题思路】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.【答案】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为，所以，因为与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为.点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力1.【解题思路】根据已知条件画出图形，再进行证明.【答案】由已知，l，l，又n，nl，C正确.故选C.2.【解题思路】A1E平面A1B1CD.【答案】如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.故选C.3【解题思路】观察图形可得【答案】：观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.4.【解题思路】由图确定球的半径与圆柱高和底面半径之间的关系，进而求其体积之比.【答案】设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R.又V1R22R2R3，V2R3，所以.故填.5.【解题思路】(1) BCAD，(2)设出长度，表示PCD的面积.【答案】(1)证明在底面ABCD中，因为BADABC90.所以BCAD，又BC平面PAD，AD平面PAD.直线BC平面PAD.(2)解取AD的中点M，连接PM，CM，由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD，因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x，取CD的中点N，连接PN.则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.1【解题思路】由三视图知原图是一个底面为边长为3的正方形，高为的斜四棱柱，【答案】.2.【解题思路】在长方体中构建模型表示上述条件与结论.【答案】中，过n作平面与平面交于直线b，则nb，又m，知mb，从而mn，正确；中，由线面垂直、面面平行的性质，m成立，正确；如上图所示的几何体中，mn，成立，则，不正确.正确的命题序号为，.故选A.3.【解题思路】还原几何体，并计算其体积.【答案】由三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥PABD与三棱柱ABCA1B1C1的组合体，其直观图如图所示.则几何体的体积为VV三棱柱V三棱锥212212.故选C.4.【解题思路】由线面垂直可得面面垂直.【答案】因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.故填.5.【解题思路】(1) ACBC，(2) VFBCDSFC，(3)利用中位线.【答案】(1)证明在ABC中，因为AC，AB2，BC1，所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因为ACFB，BCFBB，BC，FB平面FBC，所以AC平面FBC.(2)解因为AC平面FBC，FC平面FBC，所以ACFC.因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.所以BCD的面积为S.所以四面体FBCD的体积为VFBCDSFC.(3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM.证明如下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EAMN.因为MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA平面FDM成立.