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单科标准练(一)(满分：150分时间：120分钟)第卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合AxZ|x23x40，Bx|12x8，则AB的真子集的个数为()A3B4 C7D8CAxZ|x23x40xZ|1x41,0,1,2,3,4，Bx|12x8x|0x3，所以AB1,2,3，所以AB的真子集有2317个2若复数z11i，z21i，则下列结论错误的是( )Az1z2是实数 B.是纯虚数C|z|2|z2|2Dzz4iDz1z2(1i)(1i)1i22，是实数，故A项正确，i，是纯虚数，故B项正确，|z|(1i)4|(1i)2|2|(2i)2|4，2|z|2|(1i)2|2|2i|4，故C项正确，zz(1i)2(1i)22i2i0，所以D项不正确，故选D.3设向量a与b的夹角为，且a(2,1)，a2b(2,3)，则cos ( )A B. C. DA因为(a2b)a2b(4,2)，所以b(2,1)，所以cos ，故选A.4.如图1，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为( )图1A. B. C. D.D连接AE，由圆的对称性得阴影部分的面积等于ABE的面积，易知，由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为P.故选D.5等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，满足2S38a13a2，a416，则S4( )A9B15 C18D30D设等比数列an的公比为q(q0)2S38a13a2，2(a1a2a3)8a13a2，即2a3a26a10.2q2q60，q2或q(舍去)a416，a12，S430.故选D.6已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1或1A因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即ab，又双曲线C：1的一个焦点坐标为(4,0)，所以2a216，即a2b28，即该双曲线的方程为1.故选A.7已知某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为( )图2A86B66C812D612B由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3)和一个半径为1的半球组合而成(部分底面重合)，则该几何体的表面积为S2232366.故选B.8已知实数x，y满足，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于( )A3B4 C5D7C作出不等式组对应的平面区域如图，由目标函数zxy的最小值是1，得yxz，即当z1时，函数为yx1，此时对应的平面区域在直线yx1的下方，由，解得，即A(2,3)，同时A也在直线xym上，即m235，故选C.9若 (nN*)的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则dx() A36 B. C. D25C (nN*)展开式的通项为Tr1C(3x)nr3nrCx，r0,1，n，因为展开式中含有常数项，所以nr0，即rn为整数，故n的最小值为5.10已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A. B.C. D.C设a与b的夹角为，f(x)x3|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，故选C11已知菱形ABCD的边长为2，BAD60，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角ABDC的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为( )A.B8C.D36B取BD中点M，连接AM，CM(图略)根据二面角的平面角的概念，可知AMC是二面角ABDC的平面角，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得AMCM23，此时满足AC29923324，从而求得AC2，AB2BC2AD2CD2AC2，所以ABC，ADC是共斜边的两个直角三角形，所以该四面体的外接球的球心落在AC中点，半径R，所以其体积为VR368，故选B.12设x1，x2分别是函数f(x)xax和g(x)xloga x1的零点(其中a1)，则x14x2的取值范围是()A4，)B(4，)C5，)D(5，)D因为x1是函数f(x)xax的零点，所以x1ax10，化简得ax1，则由函数yax(a1)和y的图象易得0x11.因为x2是函数g(x)xloga x1的零点，所以x2loga x210，化简得ax2.由函数yax(a1)和y的图象易得两函数图象只有一个交点，所以x2，则x14x2x1.设h(x)x(0x1)，则h(x)1，当0x1时，h(x)10恒成立，所以函数h(x)x在(0,1)上单调递减，又因为当x0时，h(x)，当x1时，h(x)5，所以函数h(x)x在(0,1)上的值域为(5，)，则x14x2的取值范围为(5，)，故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13将函数f(x)2sin(2x)(0)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则的最大值是_函数f(x)2sin(2x)(0)的图象向左平移个单位长度，得到y2sin2sin，即g(x)2sin，又g(x)为偶函数，所以k，kZ，即k，kZ.又因为0，所以的最大值为.14已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn(nN*)，若，则实数_.由于an，bn都是等差数列，且等差数列的前n项和都是an2bn，所以不妨设Snn(2n1)，Tnn(n1)，b6T6T56(61)5(51)423012.a12S12S111223112145.所以.15某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为_19法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有CC9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种所以学生甲的选考方法共有99119(种)法二：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C119(种)16设过抛物线y22px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y28px(p0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y28px(p0)的另一个交点为Q，则_.3画出对应的图(图略)就可以发现，1，设P，则直线OP：yx，即yx，与y28px联立，可求得yQ4y1，从而得到面积比为13.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2acos Cbcos Cccos B0.(1)求角C的大小；(2)若a2，ABC的面积为，求c的大小解(1)在ABC中，2acos Cbcos Cccos B0，由正弦定理可得：2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos B0，2sin Acos Csin(BC)0，又ABC中，sin(BC)sin A0，cos C.0C，C.(2)由Sabsin C，a2，C，得b1.由余弦定理得c2412217，c.18(本小题满分12分)如图3，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，ADDE，ADE90，ADCDCB120.图3(1)证明：平面ABCD平面EDCF；(2)求直线AF与平面BDF所成角的正弦值解(1)证明：因为ADDE，DCDE，AD，CD平面ABCD，且ADCDD，所以DE平面ABCD.又DE平面EDCF，故平面ABCD平面EDCF.(2)由已知DCEF，所以DC平面ABFE.又平面ABCD平面ABFEAB，故ABCD.所以四边形ABCD为等腰梯形又ADDE，所以ADCD，易得ADBD，令AD1，如图，以D为原点，以的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，F，B(0，0)，所以，(0，0)，.设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，由所以取x2，则y0，z1，得n(2,0,1)，cos，n.设直线与平面BDF所成的角为，则sin .所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为.19(本小题满分12分)某学校高三有1 000名学生，按性别分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生期末某学科的考试成绩，得到如图4所示男生成绩的频率分布直方图和如图5所示的女生成绩的茎叶图图4图5(1)试计算男生考试成绩的平均分x与女生考试成绩的中位数(每组数据取区间的中点值)；(2)根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布ZN(，6.52)，试计算男生成绩落在区间(65.5,78.5)内的概率及全校考试成绩在(65.5,78.5)内的男生的人数(结果保留整数)；(3)若从抽取的50名学生中考试成绩优势(90分以上包括90分)的学生中再选取3名学生，作学习经验交流，记抽取的男生人数为，求的分布列与数学期望参考数据，若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4，P(3Z3)0.997 4.解(1)男生的平均分为(450.01550.01650.02750.03850.02950.01)1072.女生成绩的中位数为81.5.(2)由(1)知72，可知ZN(72,6.52)可知成绩落在(65.5,78.5)内的概率为P(65.5Z78.5)P(726.5Z726.5)0.682 6，所求考试成绩在(65.5,78.5)内的男生的人数大约为1 0000.682 6410(人)(3)根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在90,100的人数为300.13，女生的人数为4，可知随机变量0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，随机变量的分布列为0123PE()0123.20(本小题满分12分)已知椭圆C1：1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C1：y28x的焦点(1)若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1,1)，求直线MN的斜率；(2)若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值解因为抛物线C2：y28x的焦点为(2,0)，所以8b24，故b2.所以椭圆C1：1.(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得0，又MN的中点为(1,1)，所以x1x22，y1y22.所以.显然，点(1,1)在椭圆内部，所以直线MN的斜率为.(2)椭圆右焦点F2(2,0)当直线AB的斜率不存在或者为0时，.当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y并化简得(12k2)x28k2x8k280，因为(8k2)24(12k2)(8k28)32(k21)0，所以x1x2，x1x2.所以m，同理可得n.所以为定值21(本小题满分12分)已知f(x)为函数f(x)的导函数，f(x)e2x2f(0)exf(0)x.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x0时，af(x)exx恒成立，求a的取值范围解(1)由f(0)12f(0)，得f(0)1.因为f(x)2e2x2exf(0)，所以f(0)22f(0)，解得f(0)0.所以f(x)e2x2ex，f(x)2e2x2ex2ex(ex1)，当x(，0)时，f(x)0，则函数f(x)在(，0)上单调递减；当x(0，)时，f(x)0，则函数f(x)在(0，)上单调递增(2)令g(x)af(x)exxae2x(2a1)exx，根据题意，当x(0，)时，g(x)0恒成立g(x)2ae2x(2a1)ex1(2aex1)(ex1)当0a，x(ln 2a，)时，g(x)0恒成立，所以g(x)在(ln 2a，)上是增函数，且g(x)(g(ln 2a)，)，所以不符合题意；当a，x(0，)时，g(x)0恒成立，所以g(x)在(0，)上是增函数，且g(x)(g(0)，)，所以不符合题意；当a0时，因为x(0，)，所有恒有g(x)0，故g(x)在(0，)上是减函数，于是“g(x)0对任意x(0，)都成立”的充要条件是g(0)0，即a(2a1)0，解得a1，故1a0.综上，a的取值范围是1,0请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4cos .(1)当时，求C与l的交点的极坐标；(2)直线l与曲线C交于A，B两点，且两点对应的参数t1，t2互为相反数，求|AB|的值解(1)依题意可知，直线l的极坐标方程为(R)，当0时，联立，解得交点，当0时，经检验(0,0)满足两方程，当0时，无交点；综上，曲线C与直线l的交点极坐标为(0,0)，.(2)把直线l的参数方程代入曲线C，得t22(sin cos )t20，可知t1t20，t1t22，所以|AB|t1t2|2.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知f(x)|ax1|，若实数a0，不等式f(x)3的解集是x|1x2(1)求a的值；(2)若|k|存在实数解，求实数k的取值范围解(1)由|ax1|3，得3ax13，解得：2ax4, a0时，x，而f(x)3的解集是x|1x2，故 ，解得a2.(2)，故要使|k|存在实数解，只需|k|，解得k或k，实数k的取值范围是.
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