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离散型随机变量及其分布一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若X-B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则P=( )A. 12 B. 3 C. 13 D. 2（正确答案）A解：随机变量B(n,p)，且E=6，D=3，np=6，且np(1-p)=3，解得n=12，p=12故选：A根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望公式与方差公式的应用，是基础题2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)P(X=6)，则p=( )A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3（正确答案）B解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足XB(10,p)，P(x=4)P(X=6)，可得C104p4(1-p)6C106p6(1-p)4，可得1-2p12因为DX=2.4，可得10p(1-p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去)故选：B利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力3. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差D(X)=( )A. 2 B. 1 C. 23 D. 34（正确答案）C解：每一次红球被摸到的概率P=2131=23由题意可得：X=0，1，2，3.XB(3,23)则D(X)=323(1-23)=23故选：C每一次红球被摸到的概率P=2131=23.由题意可得：X=0，1，2，3.XB(3,23).即可得出本小题主要考查二项分布列的性质及其数学期望等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是( )A. =4 B. =5 C. =6 D. 5（正确答案）C解：由题意知，袋中装有10个红球、5个黑球，取得黑球则另换1个红球放回袋中，所以“放回5个红球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取红球，即=6，故选C根据题意和无放回抽样的性质求出表示“放回5个红球”事件的值本题考查了离散型随机变量的取值，以及无放回抽样的性质，是基础题5. 已知随机变量X+Y=10，若XB(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( )A. 6和2.4 B. 4和5.6 C. 4和2.4 D. 6和5.6（正确答案）C解：由题意XB(10,0.6)，知随机变量X服从二项分布，n=10，p=0.6，则均值E(X)=np=6，方差D(X)=npq=2.4，又X+Y=10，Y=-X+10，E(Y)=-E(X)+10=-6+10=4，D(Y)=D(X)=2.4故选：C先由XB(10,0.6)，得均值E(X)=6，方差D(X)=2.4，然后由X+Y=10得Y=-X+10，再根据公式求解即可解题关键是若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y=aX+b(a,b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)6. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则E=( )A. 3 B. 72 C. 185 D. 4（正确答案）B解：由题意知的可能取值为2，3，4，P(=2)=2514=110，P(=3)=253413+352413+352413=310，P(=4)=1-110-310=610，E=2110+3310+4610=72故选：B由题意知的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E本题离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用7. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”.现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设甲赢乙的局数为，则随机变量的数学期望是( )A. 13 B. 49 C. 23 D. 1（正确答案）D解：由题意可得随机变量的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为333=13，平的概率为13，输的概率为13，故P(=0)=C30(1-13)3=827，P(=1)=C31(1-13)2(13)=49，P(=2)=C32(1-13)(13)2=29，P(=3)=C33(13)3=127，故B(3,13)，故E=313=1 故选D的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为13，进而可得B(3,13)，由二项分布的期望的求解可得答案本题考查离散型随机变量的期望的求解，得出B(3,13)是解决问题的关键，属中档题8. 设0p1，随机变量的分布列是012P1-p212p2则当p在(0,1)内增大时，( )A. D()减小 B. D()增大C. D()先减小后增大 D. D()先增大后减小（正确答案）D解：设0p1，随机变量的分布列是E()=01-p2+112+2p2=p+12；方差是D()=(0-p-12)21-p2+(1-p-12)212+(2-p-12)2p2=-p2+p+14=-(p-12)2+12，p(0,12)时，D()单调递增；p(12,1)时，D()单调递减；D()先增大后减小故选：D求出随机变量的分布列与方差，再讨论D()的单调情况本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题9. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a,b，c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则2a+13b的最小值为( )A. 323 B. 283 C. 163 D. 4（正确答案）C解：由题意可得：3a+2b+0c=2，即3a+2b=2.a，b，c(0,1)，2a+13b=12(3a+2b)(2a+13b)=12(203+4ba+ab)12(203+24baab)=163，当且仅当a=2b=12时取等号故选：C由题意可得：3a+2b+0c=2，即3a+2b=2.a，b，c(0,1)，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出本题考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则E=( )A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6（正确答案）B解：由题意可得=0，1，2则P(=0)=114253=610=35，P(=1)=113253=310，P(=2)=153=110可得分布列为： 0 1 2 P 35 310 110E()=0+1310+2110=12故选：B由题意可得=0，1，2.可得P(=0)=114253，P(=1)=113253，P(=2)=153.即可得出本题考查了随机变量分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11. 设离散型随机变量X的分布列为X123PP1P2P3则EX=2的充要条件是( )A. P1=P2 B. P2=P3 C. P1=P3 D. P1=P2=P3（正确答案）C解：由离散型随机变量X的分布列知：当EX=2时，P1+P2+P3=1P1+2P2+3P3=2，解得P1=P3，当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2EX=2的充要条件是P1=P3故选：C当EX=2时，由离散型随机变量X的分布列的性质列出方程组得P1=P3，当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1能求出EX=2.从而得到EX=2的充要条件是P1=P3本题考查离散型随机变量的数学期望为2的充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用12. 随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=13，则D(3X-2)=( ) X-101P16abA. 9 B. 7 C. 5 D. 3（正确答案）C解：E(X)=13，由随机变量X的分布列得：16+a+b=1-16+b=13，解得a=13，b=12，D(X)=(-1-13)216+(0-13)213+(1-13)212=59D(3X-2)=9D(X)=959=5故选：C由E(X)=13，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出a=13，b=12，由此能求出D(X)，再由D(3X-2)=9D(X)，能求出结果本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= _ （正确答案）1.96解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np(1-p)=1000.020.98=1.96故答案为：1.96判断概率满足的类型，然后求解方差即可本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键14. 随机变量的取值为0，1，2，若P(=0)=15，E()=1，则D()= _ （正确答案）25解析：设P(=1)=p，P(=2)=q，则由已知得p+q=45，015+1p+2q=1，解得p=35，q=15，所以D()=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25故答案为：25 结合方差的计算公式可知，应先求出P(=1)，P(=2)，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式15. 射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为45，则他得分的数学期望是_分.（正确答案）12.8解：射击的命中的得分为X，X的取值可能为0，10，15P(X=0)=(1-45)(1-45)=0.04，P(X=10)=C2145(1-45)=0.32，P(X=15)=4545=0.64，E(X)=00.04+100.32+150.64=12.8故答案为：12.8射击的命中得分为X，X的取值可能为0，10，15，然后分别求出相应的概率，根据数学期望公式解之即可本题主要考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了离散型随机变量的数学期望，属于中档题16. 随机变量的分布列为： 0123Px0.20.30.4随机变量的方差D() _ （正确答案）1解：由随机变量的分布列的性质得：x+0.2+0.3+0.4=1，解得x=0.1，E=00.1+10.2+20.3+30.4=2，D=(0-2)20.1+(1-2)20.2+(2-2)20.3+(3-2)20.4=1故答案为：1由随机变量的分布列的性质得求出x=0.1，从而得E=2，由此能求出D本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？（正确答案）解：()由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P(X=16)=(20100)2=125，P(X=17)=20100401002=425，P(X=18)=401002+2201002=625，P(X=19)=24010020100+2(20100)2=625，P(X=20)=(20100)2+24010020100=525，P(X=21)=2(20100)2=225，P(X=22)=(20100)2=125，X的分布列为： X 16 17 18 19 20 21 22 P 125 425 625 625 525 225 125()由()知：P(X18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)=125+425+625=1125P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=125+425+625+625=1725P(Xn)0.5中，n的最小值为19()由()得：P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=125+425+625+625=1725买19个所需费用期望：EX1=200191725+(20019+500)525+(20019+5002)225+(20019+5003)125=4040，买20个所需费用期望：EX2=200202225+(20020+500)225+(20020+2500)125=4080，EX1EX2，买19个更合适()由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列()由X的分布列求出P(X18)=1125，P(X19)=1725.由此能确定满足P(Xn)0.5中n的最小值()由X的分布列得P(X19)=1725.求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？（正确答案）解：(1)由题意知X的可能取值为200，300，500，P(X=200)=2+1690=0.2，P(X=300)=3690=0.4，P(X=500)=25+7+490=0.4，X的分布列为： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200n500，当300n500时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n；若最高气温低于20，则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n，EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n，当200n300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n，若最高气温低于20，则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n，EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2nn=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题(1)由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200n500，根据300n500和200n300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立()求至少有一种新产品研发成功的概率；()若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望（正确答案）解：()设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为23和35则P(B)=(1-23)(1-35)=1325=215，再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1-P(B)=1315，故至少有一种新产品研发成功的概率为1315()由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，P(X=0)=(1-23)(1-35)=215，P(X=120)=23(1-35)=415，P(X=100)=(1-23)35=15，P(X=220)=2335=25，所以X的分布列如下： X0120100220P(x) 215 415 15 25则数学期望E(X)=0215+120415+10015+22025=140()利用对立事件的概率公式，计算即可，()求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型
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