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2.2.1椭圆的标准方程学习目标1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形知识点椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？答案不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定梳理(1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上1(ab0)F1(c,0)，F2(c,0)2c焦点在y轴上1(ab0)F1(0，c)，F2(0，c)2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2a2c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”如方程为1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，1)，F2(0,1)，焦距F1F22.1椭圆的标准方程只与a，b的大小有关()2椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a，b，c且a2b2c2.()类型一求椭圆的标准方程例1求焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程解方法一当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得由ab0知不合题意，故舍去当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1.引申探究求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程解据题可设其方程为1(9)，又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得11(21舍去)，故所求的椭圆方程为1.反思与感悟1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)2与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)，与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)解(1)设其标准方程为1(ab0)依题意得，2a10，c4，故b2a2c29，所求椭圆的标准方程为1.(2)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，则解得故所求椭圆的标准方程为1.(3)设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意得解得所求椭圆的标准方程为y21.例2已知一动圆M与圆C1：(x3)2y21外切，与圆C2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心M的轨迹方程解依题意得C1(3,0)，r11，C2(3,0)，r29，设M(x，y)，动圆的半径为R，则MC11R，MC29R，故MC1MC2106C1C2，据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a5，c3，故b2a2c216.故所求动圆圆心M的轨迹方程为1.反思与感悟用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值跟踪训练2已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程解设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨取PF1，PF2，由椭圆的定义，知2aPF1PF22.即a.由PF1PF2知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴在RtPF2F1中，4c2PFPF，c2，b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1或1.类型二椭圆中焦点三角形问题例3已知P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积解由椭圆的标准方程，知a，b2，c1，F1F22.又由椭圆的定义，知PF1PF22a2.在F1PF2中，由余弦定理得F1FPFPF2PF1PF2cosF1PF2，即4(PF1PF2)22PF1PF22PF1PF2cos30，即420(2)PF1PF2，PF1PF216(2)PF1PF2sinF1PF216(2)84.反思与感悟1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数2在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF1MF22a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解跟踪训练3在椭圆C：1(ab0)的焦点三角形PF1F2中，F1PF2，点P的坐标为(x0，y0)，求证：PF1F2的面积b2tan.证明在PF1F2中，根据椭圆定义，得PF1PF22a.两边平方，得PFPF2PF1PF24a2.根据余弦定理，得PFPF2PF1PF2cos4c2.，得(1cos)PF1PF22b2，所以PF1PF2.根据三角形的面积公式，得PF1PF2sinsinb2.又因为tan，所以b2tan.类型三求与椭圆有关的轨迹方程例4已知B，C是两个定点，BC8，且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程解以BC的中点O为坐标原点，过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示由BC8可知点B(4,0)，C(4,0)由ABACBC18得ABAC108BC，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0)反思与感悟求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程跟踪训练4如图，设定点A(6,2)，P是椭圆1上的动点，求线段AP中点M的轨迹方程考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程解设M(x，y)，P(x1，y1)M为线段AP的中点，又1，点M的轨迹方程为.1椭圆8x23y224的焦点坐标为_答案(0，)，(0，)解析椭圆方程可化为1，它的焦点位于y轴上，且c，故两焦点坐标分别为(0，)，(0，)2已知椭圆1的焦距为6，则k的值为_答案11或29解析当焦点在x轴上时，20k32，解得k11；当焦点在y轴上时，解得k2032，即k29.3设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是_三角形答案直角解析根据椭圆的定义知PF1PF28.又PF1PF22，所以PF15，PF23.而F1F24，所以F1FPFPF，所以PF1F2是直角三角形4“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件答案充要解析方程可化为1.若mn0，则00，可得mn0.5已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则PF1PF2_.答案48解析依题意知，a7，b2，c5，F1F22c10.由于PF1PF2，所以由勾股定理得PFPFF1F，即PFPF100.又由椭圆定义知PF1PF22a14，(PF1PF2)22PF1PF2100，即1962PF1PF2100.解得PF1PF248.1椭圆的定义式：PF1PF22a(2aF1F2)在解题过程中将PF1PF2看成一个整体，可简化运算2椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决3凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF1MF22a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算一、填空题1椭圆1的焦距等于2，则m的值为_答案16或14解析由m151得m16或14.2已知椭圆5x2ky25的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为_答案1解析原方程可化简为x21，因为c214，得k1.3已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为_答案1解析由题意知a224，a26，所求椭圆的方程为1.4设，方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围为_答案解析由题意知，cossin0，tan1，0b0)的左，右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是_答案1解析由AF1AF22a4得a2，原方程化为1，将A代入方程得b23，椭圆C的方程为1.8已知椭圆经过点(，0)且与椭圆1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为_答案1解析椭圆1的焦点在y轴上，且c，故所求椭圆的焦点在y轴上又它过点(，0)，b，a2b2c28.故这个椭圆的标准方程为1.9“1m3”是“方程1表示椭圆”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析当方程1表示椭圆时，必有所以1mb0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A, 0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F2(5,0)2aAF1AF24.a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.三、探究与拓展14已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若F2AF2B12，则AB_.答案8解析由题意，知(AF1AF2)(BF1BF2)ABAF2BF22a2a，又由a5，可得AB(BF2AF2)20，即AB8.15已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程解以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点F1，F2所在直线为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得，2a3,2c2.4，故a1.5，c1.2，所以b2a2c20.81.所以这个椭圆的标准方程为1.
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