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课时分层作业(十一)抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1抛物线焦点在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，AF5，则该抛物线的方程是_解析设抛物线的标准方程为y22ax(a0)，设A(m，3)由抛物线定义得5AF，又(3)22am，a1或a9，故所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.答案y22x或y218x2抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB4，则焦点到弦AB的距离为_解析由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)24x，x3，直线AB的方程为x3，抛物线的焦点为(1,0)，焦点到弦AB的距离为2.答案23在抛物线y216x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是_解析显然斜率不存在时的直线不符合题意设直线斜率为k，则直线方程为y1k(x2)，由消去x得ky216y16(12k)0，y1y22(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，k8，代入得y8x15.答案y8x154已知过抛物线：x的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x27，则AB的值为_. 【导学号：71392104】解析因为x，所以y22x，所以抛物线的准线方程为x，根据抛物线的定义知AFx1，BFx2，所以ABAFBF1(x1x2)1(7)8.答案85直线yk(x1)与抛物线y28x有两个交点，则实数k的取值范围是_解析联立直线与抛物线方程，得所以ky28y8k0.由题意得解得k，且k0.所以实数k的取值范围是(，0)(0，)答案(，0)(0，)6已知抛物线E：y24x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点若，则直线PF的方程为_. 【导学号：71392105】解析抛物线E：y24x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QFd.，|d，直线的倾斜角为45或135，直线的斜率为1，直线的方程为xy10或xy10.答案xy10或xy107如图243是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.图243 解析建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意A(2，2)，代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2 m.答案28已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，由抛物线定义知，点P到直线l2的距离等于点P到焦点F的距离，作PAl1垂足为A，则点P到l1，l2的距离之和dPAPF，当P，A，F三点共线时，d取得最小值，最小值即为点F到直线l1的距离，由点到直线的距离公式得dmin2.答案2二、解答题9已知抛物线y22px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程. 【导学号：71392106】解设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0(舍)或x，A点坐标为，B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得解方程组得k664，即k24.则p2，又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得，|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可化简为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.能力提升练1等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积为_解析由条件，不妨设lOA为yx，解方程组得x2p，所以A(2p,2p)故SAOB2(2p)(2p)4p2.答案4p22过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为直线倾斜角为45，过抛物线焦点，所以可设直线方程为yx，代入抛物线方程得2px，即x23px0，故x1x23p，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2x1x2p4p8，因此p2.答案23已知抛物线yx2与双曲线x21(a0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为_解析抛物线yx2的焦点F为(0,2)，则双曲线x21中，c2，则a23.即双曲线方程为x21，设P(m，n)，则n23m23，则(m，n)(m，n2)m2n22n1n22n2n1，所以当n时，的最小值为32.答案324如图244，抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O. 【导学号：71392107】图244证明法一：设直线AB的方程为yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C.联立方程，得消去x，得y2p20，y1y2p2，kOA，kOC.又y2px1，kOCkOA，AC经过原点O.当k不存在时，ABx轴，同理可得kOAkOC，所以AC经过原点O.法二：因为抛物线y22px(p0)的焦点为F，由于直线AB斜率不确定，所以经过点F的直线AB的方程可设为xmy，代入抛物线方程消去x得y22pmyp20.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2p2.因为BCx轴，且点C在准线x上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.法三：如图，过A作ADl，D为垂足，则ADEFBC，设AC与EF相交于点N，则，.由抛物线的定义可知AFAD，BFBC，ENNF.即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.
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